相似な図形の面積比と体積比¶
相似比が \(m : n\) のとき、相似な図形の面積比は \(m^2 : n^2\)、相似な立体の体積比は \(m^3 : n^3\) になります。長さ・面積・体積で、比がどう変わるかを確かめましょう。
この単元でできるようになること¶
- 相似な図形の面積比が相似比の2乗になることを説明できる
- 相似な立体の体積比が相似比の3乗になることを説明できる
- 面積比・体積比から面積や体積を求められる
- 面積比から相似比を求められる
前に習ったこと¶
始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。
問題を読み込んでいます…
基本を理解する¶
相似な図形の面積比¶
相似比が \(m : n\) の2つの相似な図形では
なぜ面積比が2乗になるのか
相似比 \(m:n\) のとき、すべての長さが \(m:n\) の比で変わる。 面積は「縦 × 横」（または底辺 × 高さ / 2）なので、2つの長さをかけた値になる。 よって面積比は \((m \times m) : (n \times n) = m^2 : n^2\) となる。
相似な立体の体積比¶
相似比が \(m : n\) の2つの相似な立体では
例題¶
例題１ 面積比から辺の長さを求める¶
\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) で面積比が \(4 : 9\) のとき、\(BC=6\) とすると \(EF\) を求めよ。
解答
面積比 \(4 : 9 = 2^2 : 3^2\) より、相似比は \(2 : 3\)。
\(\dfrac{BC}{EF} = \dfrac{2}{3}\) なので
例題２ 体積比の問題¶
相似な2つの円柱 P・Q の高さの比が \(3 : 5\) のとき、体積比を求めよ。
解答
相似比（高さの比）は \(3 : 5\) なので
例題３ もとの面積・体積を求める¶
2つの相似な四角形 A・B で相似比が \(2 : 3\)、四角形 A の面積が \(20\ \text{cm}^2\) のとき、四角形 B の面積を求めよ。
解答
面積比は \(2^2 : 3^2 = 4 : 9\)。
四角形 A の面積が \(20\ \text{cm}^2\) なので
自分でやってみる¶
解いたら「答えを確認」で確かめよう。
問題を読み込んでいます…
まとめ¶
相似な図形の比のまとめ
| 相似比 | 面積比 | 体積比 |
|---|---|---|
| \(m : n\) | \(m^2 : n^2\) | \(m^3 : n^3\) |
よく使う手順
- 面積比・体積比から相似比を求めるときは、何を2回（3回）かけた数かを考える
- 面積比 \(4 : 9 = 2^2 : 3^2\) → 相似比 \(2 : 3\)（面積比 \(a : b\) なら相似比 \(\sqrt{a} : \sqrt{b}\)）
- 体積比 \(8 : 27 = 2^3 : 3^3\) → 相似比 \(2 : 3\)
理解度チェック¶
問題を読み込んでいます…
次に進もう
このページの目標に全部チェックがついたら、次へ進もう。