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  1. 数学
  2. 中学3年
  3. 図形
  4. 相似な図形と円

LESSON 3 / 7

  1. Lesson 1：三角形の相似条件
  2. Lesson 2：相似の証明
  3. Lesson 3：平行線と線分の比
  4. Lesson 4：中点連結定理
  5. Lesson 5：相似な図形の面積比と体積比
  6. Lesson 6：円周角と中心角
  7. Lesson 7：円と相似

平行線と線分の比

三角形の1辺に平行な直線は、ほかの2辺を同じ比に分けます。また、平行な3直線は、それと交わる2直線を同じ比に分けます。どちらも相似を使って説明できる性質です。

この単元でできるようになること

  • 三角形と平行線の線分の比の性質を使って、長さを求められる
  • 線分の比が等しいときに平行になること（逆）を説明できる
  • 3本の平行線と2直線の比の性質を使える

前に習ったこと

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する

定理：△ABC で DE∥BC ならば比が等しい

\(\triangle ABC\) の辺 AB 上に D、辺 AC 上に E をとり \(DE \parallel BC\) とすると

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]

が成り立つ。

DE ∥ BC の三角形と線分 △ABC で DE ∥ BC。AD・DB・AE・EC・DE・BC の長さの関係を考える。 A B C D E AD DB AE EC DE BC

証明の概要（AA 相似を利用）

\(DE \parallel BC\) より \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\)（AA 相似）。

対応する辺の比が等しいので

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]

逆定理

\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) ならば \(DE \parallel BC\)。

AD : AB = AE : AC のとき △ABC で、AD : AB = AE : AC となる点 D・E をとると、DE ∥ BC になる。 A B C D E AD DB AE EC

3本の平行線が2本の直線を切るときの比

3本の平行線 \(\ell_1 \parallel \ell_2 \parallel \ell_3\) が2本の直線を切るとき、切り取る線分の比は等しい。

\[ AB : BC = DE : EF \]
3本の平行線と2本の直線 平行な3直線 ℓ₁・ℓ₂・ℓ₃ が2本の直線と A・B・C、D・E・F で交わる。AB : BC = DE : EF。 ℓ₁ ℓ₂ ℓ₃ A B C D E F AB BC DE EF

例題

例題１　比を使って辺の長さを求める

右の図で \(DE \parallel BC\)、\(AD=3\)、\(DB=2\)、\(DE=6\) のとき、\(BC\) を求めよ。

DE ∥ BC（AD = 3、DB = 2、DE = 6） △ABC で DE ∥ BC、AD = 3、DB = 2、DE = 6。BC を求める。 A B C D E 3 2 6 ?
解答

\(AB = AD + DB = 3 + 2 = 5\)

\(DE \parallel BC\) より \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) なので

\[ \frac{3}{5} = \frac{6}{BC} \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{6 \times 5}{3} = 10 \]

例題２　3本の平行線パターン

3本の平行線 \(\ell_1 \parallel \ell_2 \parallel \ell_3\) が直線を切るとき、\(AB=4\)、\(BC=6\)、\(DE=5\) ならば \(EF\) を求めよ。

3本の平行線（AB = 4、BC = 6、DE = 5） ℓ₁ ∥ ℓ₂ ∥ ℓ₃ で、AB = 4、BC = 6、DE = 5。EF を求める。 ℓ₁ ℓ₂ ℓ₃ A B C D E F 4 6 5 ?
解答

3本の平行線定理より

\[ AB : BC = DE : EF \]
\[ 4 : 6 = 5 : EF \quad \Rightarrow \quad EF = \frac{5 \times 6}{4} = 7.5 \]

自分でやってみる

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

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まとめ

平行線と線分の比

\(\triangle ABC\) で \(DE \parallel BC\) ならば

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}, \quad \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]

3本の平行線の性質

\(\ell_1 \parallel \ell_2 \parallel \ell_3\) が2本の直線を切るとき

\[ AB : BC = DE : EF \]

理解度チェック

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