中点連結定理¶
三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さはその半分です。この中点連結定理は、相似を使って説明でき、台形の問題にも使えます。
この単元でできるようになること¶
- 中点連結定理を説明できる
- 中点連結定理を使って線分の長さを求められる
- 中点連結定理の逆を説明できる
- 台形の2辺の中点を結ぶ線分の長さを求められる
前に習ったこと¶
始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。
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基本を理解する¶
定理¶
\(\triangle ABC\) の辺 AB の中点を M、辺 AC の中点を N とすると
が成り立つ。
証明の概要（相似を利用）¶
相似を使った証明
AM = MB（M は中点）、AN = NC（N は中点）より
\(\angle A\) は共通なので、SAS 相似より \(\triangle AMN \sim \triangle ABC\)（相似比 \(1:2\)）。
したがって
また、対応する角が等しいから \(\angle AMN = \angle ABC\)、すなわち \(MN \parallel BC\)。
逆定理¶
\(\triangle ABC\) で AB の中点 M を通り BC に平行な直線が AC と交わる点は AC の中点である。
例題¶
例題１ MN の長さを求める¶
\(\triangle ABC\) で \(BC=10\)、M・N がそれぞれ AB・AC の中点のとき、\(MN\) を求めよ。
解答
中点連結定理より
例題２ 台形への応用¶
右の図の台形 ABCD で \(AD \parallel BC\)、M・N はそれぞれ AB・DC の中点とする。\(AD=6\)、\(BC=10\) のとき \(MN\) を求めよ。
解答
対角線 BD を引き、BD の中点を E とする。
\(\triangle ABD\) で M・E は AB・BD の中点 → 中点連結定理より \(ME \parallel AD\) かつ \(ME = \dfrac{AD}{2} = 3\)
\(\triangle DBC\) で E・N は DB・DC の中点 → 中点連結定理より \(EN \parallel BC\) かつ \(EN = \dfrac{BC}{2} = 5\)
\(AD \parallel BC\) なので、\(ME\) と \(EN\) はどちらも \(BC\) に平行で、点 E を共有する。よって M・E・N は一直線上にあり
また、\(MN \parallel AD \parallel BC\) も成り立つ。
自分でやってみる¶
解いたら「答えを確認」で確かめよう。
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まとめ¶
中点連結定理
\(\triangle ABC\) の辺 AB・AC の中点 M・N について
台形への応用
台形 \(AD \parallel BC\)（M・N はそれぞれ AB・DC の中点）のとき
理解度チェック¶
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