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  1. 数学
  2. 中学3年
  3. 図形
  4. 相似な図形と円

LESSON 1 / 7

  1. Lesson 1：三角形の相似条件
  2. Lesson 2：相似の証明
  3. Lesson 3：平行線と線分の比
  4. Lesson 4：中点連結定理
  5. Lesson 5：相似な図形の面積比と体積比
  6. Lesson 6：円周角と中心角
  7. Lesson 7：円と相似

三角形の相似条件

形が同じで大きさだけがちがう2つの図形は相似です。三角形が相似になる条件は3つあり、合同条件とよく似ています。相似比を使うと、わからない辺の長さが求められます。

この単元でできるようになること

  • 相似の意味と記号 ∽ を説明できる
  • 三角形の相似条件を3つ言える
  • 相似条件を使って、2つの三角形が相似か判断できる
  • 相似比を使って辺の長さを求められる

前に習ったこと

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する

相似とは

２つの三角形が形は同じで大きさだけが異なるとき、この２つの三角形は相似であるという。

相似の記号は「\(\sim\)」を使い、\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) と書く。

相似な図形の性質

  • 対応する角はすべて等しい
  • 対応する辺の比はすべて等しい（これを相似比という）
相似な2つの三角形 △ABC と、それを 1.5 倍に拡大した △DEF。対応する角（同じ印）は等しく、対応する辺の比はすべて等しい。 A B C D E F △ABC ∽ △DEF

相似の３条件

条件１　３組の辺の比がすべて等しい（SSS 相似）

\[ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} \]
3組の辺の比がすべて等しい AB = 3、BC = 4、CA = 5 の △ABC と、DE = 4.5、EF = 6、FD = 7.5 の △DEF。3組の辺の比はすべて 2 : 3。 A B C 3 4 5 D E F 4.5 6 7.5 3 : 4.5 = 4 : 6 = 5 : 7.5 = 2 : 3

条件２　２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい（SAS 相似）

\[ \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}, \quad \angle A = \angle D \]
2組の辺の比とその間の角が等しい AB = 3、AC = 2、∠A = 60° の △ABC と、DE = 4.5、DF = 3、∠D = 60° の △DEF。AB : DE = AC : DF = 2 : 3、∠A = ∠D。 A B C D E F 60° 60° 3 2 4.5 3

条件３　２組の角がそれぞれ等しい（AA 相似）

\[ \angle A = \angle D, \quad \angle B = \angle E \]

（参考）2組の角が等しければ残り1組も自動的に等しい

三角形の内角の和は 180° なので、2 組の角が等しければ 3 組目も等しくなる。

2組の角がそれぞれ等しい ∠A = ∠D（1本の印）、∠B = ∠E（2本の印）の △ABC と △DEF。2組の角がそれぞれ等しいので相似。 A B C D E F

相似比

相似な２つの図形で、対応する辺の比を相似比という。

\[ \triangle ABC \sim \triangle DEF \text{ で相似比 } m : n \text{ のとき} \quad \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = \frac{m}{n} \]

例題

例題１　相似条件を判断する

\(\triangle ABC\)（\(AB=6,\ BC=9,\ CA=12\)）と \(\triangle DEF\)（\(DE=4,\ EF=6,\ FD=8\)）が相似かどうか調べ、相似ならその条件を答えよ。

解答

それぞれの辺の比を求める。

\[ \frac{AB}{DE} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad \frac{BC}{EF} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}, \quad \frac{CA}{FD} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]

3組の辺の比がすべて等しいので、SSS の相似条件より

\[ \triangle ABC \sim \triangle DEF \quad \text{（相似比 } 3 : 2\text{）} \]

例題２　相似を使って辺の長さを求める

\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)、\(AB=4\)、\(AC=6\)、\(DE=6\) のとき、\(DF\) の長さを求めよ。

△ABC ∽ △DEF（AB = 4、AC = 6、DE = 6） △ABC ∽ △DEF で、AB = 4、AC = 6、DE = 6。DF を求める。 A B C D E F 4 6 6 ?
解答

\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) より、対応する辺の比は等しい。

\[ \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} \]
\[ \frac{4}{6} = \frac{6}{DF} \quad \Rightarrow \quad DF = \frac{6 \times 6}{4} = 9 \]

例題３　AA 相似の利用（平行線）

右の図で、\(DE \parallel BC\) のとき、\(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) であることを証明せよ。

DE ∥ BC の三角形 △ABC の辺 AB 上に D、AC 上に E があり、DE ∥ BC。∠A は共通、∠ADE = ∠ABC（同位角）。 A B C D E
証明

\(\angle A\) は \(\triangle ADE\) と \(\triangle ABC\) に共通。 \(\cdots\) ①

\(DE \parallel BC\) より、同位角が等しいので

\[ \angle ADE = \angle ABC \quad \cdots ② \]

①②より、2組の角がそれぞれ等しいから

\[ \triangle ADE \sim \triangle ABC \]

例題４　対頂角を利用した相似の証明

右の図で、\(AB \parallel DC\) のとき、\(\triangle OAB \sim \triangle OCD\) であることを証明せよ。

AB ∥ DC で、AC と BD が O で交わる図 線分 AC と BD が点 O で交わり、AB ∥ DC。∠OAB = ∠OCD（錯角、1本の印）、∠AOB = ∠COD（対頂角、2本の印）。 O A B C D
証明

\(AB \parallel DC\) より、錯角が等しいので

\[ \angle OAB = \angle OCD \quad \cdots ① \]

対頂角は等しいので

\[ \angle AOB = \angle COD \quad \cdots ② \]

①②より、2組の角がそれぞれ等しいから

\[ \triangle OAB \sim \triangle OCD \]

自分でやってみる

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

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まとめ

三角形の相似条件

条件 内容
SSS 3組の辺の比がすべて等しい
SAS 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
AA 2組の角がそれぞれ等しい

よく使うポイント

  • \(DE \parallel BC\) → 同位角・錯角 → AA 相似
  • 対頂角 → AA 相似
  • 直角三角形の斜辺への垂線 → AA 相似
  • 相似比 \(m:n\) がわかれば、対応する辺の比から長さを求められる

理解度チェック

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