二次方程式の利用（動点・道幅・箱）¶

点が動く図形、道を作った土地、紙を折って作る箱など、図形の長さが \(x\) で変わる問題を二次方程式で解きます。\(x\) が取りうる範囲（変域）を先に考え、解を選びましょう。

この単元でできるようになること¶

動点の問題で、長さを \(x\) で表して方程式を立てられる
道幅の問題で、道を端に寄せて考えられる
箱を作る問題で、底面の1辺を \(x\) で表せる
変域を考えて、問題に合う解を選べる

前に習ったこと¶

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する¶

解を確かめる習慣¶

二次方程式は解が2つ出ますが、文章題では片方が答えにならないことがよくあります。

必ず確かめること

長さ・人数・個数は \(0\) より大きい
動点の問題は 変域の中にあるか
「もとの数より大きい」などの条件を満たすか

条件に合わない解は「問題に適さない」として捨てます。答案には、なぜ捨てたのかを一言書くのが理想です。

型1：動点の問題¶

点が辺の上を動き、面積が指定の値になる時刻を求めます。

例題1¶

下の図で、長方形 ABCD は AB \(= 6\) cm、BC \(= 10\) cm です。点 P は B を出発して毎秒 \(1\) cm で C へ、点 Q は C を出発して毎秒 \(2\) cm で D へ同時に動きます。

三角形 PCQ の面積が \(12\) cm² になるのは、出発してから何秒後ですか。

P は B から C へ、Q は C から D へ同時に動く

解答

出発から \(x\) 秒後とします。

PC の長さ … P は B から \(x\) cm 進んだので、PC \(= 10 - x\)
CQ の長さ … Q は C から \(2x\) cm 進んだので、CQ \(= 2x\)

三角形 PCQ は \(\angle C\) が直角なので

\[ \frac{1}{2} \times (10 - x) \times 2x = 12 \]

\[ x(10 - x) = 12 \]

\[ 10x - x^2 = 12 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 10x + 12 = 0 \]

解の公式より

\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 48}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{52}}{2} = 5 \pm \sqrt{13} \]

変域を確認します。 P は \(10\) 秒、Q は \(6 \div 2 = 3\) 秒で端に着くので

\[ 0 \leqq x \leqq 3 \]

\(\sqrt{13} = 3.6\ldots\) なので

\(5 + \sqrt{13} = 8.6\ldots\) → 変域外なので不適
\(5 - \sqrt{13} = 1.4\ldots\) → 変域内なので適する

\[ \boxed{(5 - \sqrt{13}) \text{ 秒後}} \]

変域は「先に止まるほう」で決まる

P は \(10\) 秒、Q は \(3\) 秒動けます。 2点が同時に動くので、短いほう（\(3\) 秒）が変域の上限です。

例題2¶

1辺 \(8\) cm の正方形 ABCD で、点 P は A を出発して毎秒 \(1\) cm で B へ、点 Q は B を出発して毎秒 \(1\) cm で C へ同時に動きます。

三角形 PBQ の面積が \(6\) cm² になるのは何秒後ですか。

解答

\(x\) 秒後とすると

PB \(= 8 - x\)（P は A から \(x\) cm 進んだ）
BQ \(= x\)

\(\angle B\) は直角なので

\[ \frac{1}{2}(8 - x) \times x = 6 \]

\[ x(8-x) = 12 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 8x + 12 = 0 \]

\[ (x - 2)(x - 6) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2,\ 6 \]

変域は \(0 \leqq x \leqq 8\) なので、どちらも適します。

\[ \boxed{2 \text{ 秒後と } 6 \text{ 秒後}} \]

2つとも答えになることもある

面積は増えてから減るので、同じ面積になる瞬間が2回あります。 機械的に片方を捨てないでください。変域で判断します。

型2：道幅の問題¶

土地に道を作り、残りの面積を求める問題です。

道を端に寄せて考える

道が真ん中にあっても、端に寄せて考えてよいのがポイントです。残った土地を1つの長方形にまとめられます。

例題3¶

たて \(10\) m、よこ \(16\) m の長方形の土地に、同じ幅の道を縦横に1本ずつ作ったところ、道を除いた面積が \(135\) m² になりました。道の幅を求めなさい。

道は同じ幅。斜線の部分が道

解答

道の幅を \(x\) m とします。

道を端に寄せて考えると、残った土地はたて \((10 - x)\) m、よこ \((16 - x)\) m の1つの長方形になります。

\[ (10 - x)(16 - x) = 135 \]

\[ 160 - 26x + x^2 = 135 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 26x + 25 = 0 \]

\[ (x - 1)(x - 25) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1,\ 25 \]

道の幅は、たての \(10\) m より小さいので \(0 < x < 10\)。\(x = 25\) は不適。

\[ \boxed{1 \text{ m}} \]

道幅が土地より大きい解は捨てる

\(0 < x < 10\)（たての長さ未満）が条件です。大きいほうの解は明らかに不適なので、必ず確認しましょう。

例題4¶

たて \(12\) m、よこ \(20\) m の土地に同じ幅の道を縦横に1本ずつ作り、残りの面積が \(180\) m² になりました。道の幅を求めなさい。

解答

幅を \(x\) m として

\[ (12 - x)(20 - x) = 180 \]

\[ 240 - 32x + x^2 = 180 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 32x + 60 = 0 \]

\[ (x - 2)(x - 30) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2,\ 30 \]

\(0 < x < 12\) より \(x = 30\) は不適。

\[ \boxed{2 \text{ m}} \]

型3：箱を作る問題¶

正方形の紙の四隅を切り取って、箱を作ります。

例題5¶

1辺 \(20\) cm の正方形の紙の四隅から、1辺 \(x\) cm の正方形を切り取り、折り曲げてふたのない箱を作ります。底面積が \(144\) cm² になるとき、\(x\) を求めなさい。

四隅の斜線の部分（1辺 x）を切り取って折り曲げる

解答

底面は1辺 \((20 - 2x)\) cm の正方形です。 両側から \(x\) ずつ切るので \(2x\) 引くのがポイントです。

\[ (20 - 2x)^2 = 144 \quad\Rightarrow\quad 20 - 2x = \pm 12 \]

\(20 - 2x = 12\) のとき \(x = 4\)
\(20 - 2x = -12\) のとき \(x = 16\)

切り取れるのは紙の半分未満なので \(0 < x < 10\)。\(x = 16\) は不適。

\[ \boxed{x = 4} \]

\(2x\) を引くのを忘れない

\((20 - x)^2\) としてしまうミスが非常に多いです。 左右の両方から切り取るので \(2x\) です。

型4：増加・減少の問題¶

例題6¶

ある品物の値段を \(x\) % 値上げしたところ、売れる個数が \(x\) % 減り、売上が \(4\) % 減りました。\(x\) を求めなさい。（もとの値段を \(a\) 円、もとの個数を \(b\) 個とします）

解答

値上げ後の値段は \(a\left(1 + \dfrac{x}{100}\right)\)、個数は \(b\left(1 - \dfrac{x}{100}\right)\) です。

売上が \(4\) % 減ったので、もとの \(0.96\) 倍になります。

\[ ab\left(1 + \frac{x}{100}\right)\left(1 - \frac{x}{100}\right) = 0.96ab \]

両辺を \(ab\) で割り、和と差の積を使うと

\[ 1 - \frac{x^2}{10000} = 0.96 \]

\[ \frac{x^2}{10000} = 0.04 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 400 \]

\[ x = \pm 20 \]

値上げ率なので \(x > 0\)。よって

\[ \boxed{x = 20} \]

自分でやってみる¶

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

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まとめ¶

解が2つ出たら、必ず変域・条件を確認する。不適なら理由を書いて捨てる
動点：2点が動くときは、先に止まるほうで変域が決まる。2つとも答えになることもある
道幅：道を端に寄せて1つの長方形にまとめる
箱：両側から切るので \(2x\) を引く
答えが根号のままになることもある

理解度チェック¶

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