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  1. 数学
  2. 中学3年
  3. 数と式
  4. 二次方程式

LESSON 2 / 3

  1. Lesson 1：二次方程式の解き方
  2. Lesson 2：二次方程式の利用（数・図形）
  3. Lesson 3：二次方程式の利用（動点・道幅・箱）

二次方程式の利用（数・図形）

二次方程式の解は2つあることが多いですが、どちらも問題の答えになるとは限りません。正の数か、長さとして意味があるかなど、問題の条件に合うかを必ず確かめましょう。

この単元でできるようになること

  • 文章題を二次方程式で表せる
  • 数に関する問題を解ける
  • 図形の辺の長さや面積の問題を解ける
  • 解が問題の条件に合うか確かめて答えられる

前に習ったこと

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する

文章題を解く手順

文章題の解き方ステップ

  1. 何を \(x\) とおくか決める
  2. 等しい関係を見つけて方程式を立てる
  3. 方程式を解く
  4. 解が問題の条件に合うか確認する（負の値・不適な値を除く）
  5. 答えを書く（単位も忘れずに）

解の確認を忘れずに！

二次方程式の解は２つ出ることが多い。問題の意味に合わない解は捨てる。

タイプ① 数に関する問題

例題１

連続する２つの自然数がある。それぞれを２乗した和が \(85\) のとき、この２つの自然数を求めよ。

解答

小さい方の自然数を \(x\) とすると、大きい方は \(x + 1\)。

方程式を立てる：

\[ x^2 + (x+1)^2 = 85 \]
\[ x^2 + x^2 + 2x + 1 = 85 \]
\[ 2x^2 + 2x - 84 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - 42 = 0 \]
\[ (x + 7)(x - 6) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -7 \quad \text{または} \quad x = 6 \]

確認： \(x\) は自然数なので \(x = -7\) は不適。

答え：６と７

例題２

ある正の数の２乗から、その数の \(3\) 倍を引くと \(10\) になる。その数を求めよ。

解答

ある正の数を \(x\) とする。

方程式を立てる：

\[ x^2 - 3x = 10 \]
\[ x^2 - 3x - 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-5)(x+2) = 0 \]
\[ x = 5 \quad \text{または} \quad x = -2 \]

確認： \(x > 0\) なので \(x = -2\) は不適。

答え：５

タイプ② 図形に関する問題

例題３

縦が \(8\) cm、横が \(12\) cm の長方形がある。縦と横をそれぞれ同じ長さだけ短くして、面積を元の半分にしたい。何 cm 短くすればよいか。

解答

短くする長さを \(x\) cm とする。

元の面積：\(8 \times 12 = 96\) cm²

方程式を立てる：

\[ (8 - x)(12 - x) = 48 \]
\[ 96 - 20x + x^2 = 48 \]
\[ x^2 - 20x + 48 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-4)(x-16) = 0 \]
\[ x = 4 \quad \text{または} \quad x = 16 \]

確認： \(x = 16\) のとき縦 \(8 - 16 = -8\) cm となり不適。

答え：４ cm

例題４

正方形の土地の内側に幅が一定の道を作る。正方形の１辺が \(20\) m のとき、道を除いた内側の面積が \(256\) m² になるよう道の幅を求めよ。

正方形の土地のまわりに道を作る 1辺 20m の正方形の土地の内側に、まわりに幅 x m の道（斜線）を作った図。道の内側は1辺 (20 − 2x) m の正方形。 内側 x m 20 m
まわりの斜線の部分が幅 x m の道
解答

道の幅を \(x\) m とすると、内側の正方形の１辺は \((20 - 2x)\) m。

方程式を立てる：

\[ (20 - 2x)^2 = 256 \]
\[ 20 - 2x = \pm 16 \]

\(20 - 2x > 0\) なので正の値のみ採用。

\[ 20 - 2x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]

確認： \(0 < x < 10\) を満たす。✓

答え：２ m

例題５

周の長さが \(20\) cm、面積が \(24\) cm² の長方形がある。この長方形の縦と横の長さを求めよ（縦の方が短いとする）。

解答

縦を \(x\) cm とすると、縦と横の和は周の半分の \(10\) cm なので、横は \((10 - x)\) cm。

\[ x(10 - x) = 24 \]
\[ 10x - x^2 = 24 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 10x + 24 = 0 \]
\[ (x - 4)(x - 6) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4,\ 6 \]

縦の方が短いので \(x = 4\)（\(x = 6\) のときは横が \(4\) cm で、縦の方が長くなる）。

答え：縦 ４ cm、横 ６ cm

タイプ③ 速さ・時間に関する問題

例題６

ある人が \(240\) km の道のりを一定の速さで走った。もし時速を \(4\) km 速くすると、かかる時間が \(1\) 時間短くなるという。もとの速さを求めよ。

解答

もとの速さを \(x\) km/時 とする。

  • もとの時間：\(\dfrac{240}{x}\) 時間
  • 速くしたときの時間：\(\dfrac{240}{x+4}\) 時間

方程式を立てる：

\[ \frac{240}{x} - \frac{240}{x+4} = 1 \]

両辺に \(x(x+4)\) をかける。

\[ 240(x+4) - 240x = x(x+4) \]
\[ 960 = x^2 + 4x \]
\[ x^2 + 4x - 960 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x+32)(x-30) = 0 \]

確認： 速さは正なので \(x = -32\) は不適。

答え：時速 30 km

自分でやってみる

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

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まとめ

文章題のチェックリスト

  • 何を \(x\) としたか明記した
  • \(x\) の単位を確認した（cm、m、個、歳…）
  • 等しい関係から方程式を正しく立てた
  • 解を２つとも求めた
  • 問題の条件に合わない解を除いた
  • 答えの単位を書いた

よく出るパターンと方程式の立て方

パターン 方程式の立て方のヒント
連続する整数 小さい方を \(x\)、大きい方を \(x+1\)
長方形の面積 縦 \(\times\) 横 ＝ 面積
正方形の道（内側） 道を除いた１辺 \(=\) 全体 \(-\) 道幅 \(\times 2\)
直角三角形 \(a^2 + b^2 = c^2\)（ピタゴラスの定理）
速さ・時間 時間 \(=\) 距離 \(\div\) 速さ

理解度チェック

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