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  1. 数学
  2. 中学3年
  3. 図形
  4. 三平方の定理

LESSON 2 / 3

  1. Lesson 1：三平方の定理
  2. Lesson 2：2点間の距離
  3. Lesson 3：三平方の定理の空間図形への利用

2点間の距離

座標平面上の2点を結ぶ線分は、横と縦の線を加えると直角三角形の斜辺になります。三平方の定理を使うと、2点間の距離が求められます。

この単元でできるようになること

  • 2点を結ぶ線分を斜辺とする直角三角形をつくれる
  • 2点間の距離を求められる（座標に負の数があっても求められる）
  • 3点の距離をくらべて、三角形の種類を判定できる
  • 距離の条件から座標を求められる

前に習ったこと

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する

考え方：三平方の定理を座標平面で使う

座標平面上の2点 \(A(x_1,\ y_1)\)、\(B(x_2,\ y_2)\) の距離は、直角三角形を作って三平方の定理を使うことで求められる。

2点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) の距離 H(x₂, y₁) をとると、AH = x₂ − x₁、HB = y₂ − y₁ の直角三角形 AHB ができる。AB が求める距離。 x y O 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 A(x₁, y₁) B(x₂, y₂) H x₂ − x₁ y₂ − y₁

点 H を \((x_2,\ y_1)\) にとると、\(\triangle AHB\) は直角三角形になる。

  • AH（横の長さ）\(= x_2 - x_1\)
  • HB（縦の長さ）\(= y_2 - y_1\)
  • AB（斜辺）\(= ?\)

三平方の定理 \(AB^2 = AH^2 + HB^2\) より：

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

2点間の距離の公式

2点 \(A(x_1,\ y_1)\)、\(B(x_2,\ y_2)\) の距離は

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

注意

  • \(x_2 - x_1\) と \(y_2 - y_1\) はどちらが引かれる側でも 2乗するので符号は関係ない。
  • \((x_1 - x_2)^2 = (x_2 - x_1)^2\) が成り立つ。

例題

例題１　基本的な2点間の距離

2点 \(A(1,\ 2)\)、\(B(4,\ 6)\) の距離を求めよ。

2点 A(1, 2)、B(4, 6) 2点 A(1, 2)、B(4, 6) と H(4, 2)。AH = 3、HB = 4。 x y O 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 A B H 3 4
解答

\(x\) の差：\(4 - 1 = 3\)

\(y\) の差：\(6 - 2 = 4\)

\[ AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

例題２　座標に負の数が含まれる場合

2点 \(P(-2,\ 1)\)、\(Q(4,\ -3)\) の距離を求めよ。

2点 P(−2, 1)、Q(4, −3) 2点 P(−2, 1)、Q(4, −3) と H(4, 1)。PH = 6、HQ = 4。 x y O −2 1 2 3 4 −3 −2 1 2 P Q H 6 4
解答

\(x\) の差：\(4 - (-2) = 6\)

\(y\) の差：\(-3 - 1 = -4\) → 2乗すると \((-4)^2 = 16\)

\[ PQ = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

マイナスが出ても大丈夫

差が負の数になっても、2乗するので必ず正の値になる。

例題３　平行移動しても距離は同じ

2点 \(A(0,\ 0)\)、\(B(3,\ 4)\) を結ぶ線分の長さと、\(A(1,\ 3)\)、\(B(4,\ 7)\) の距離をそれぞれ求めよ。

2本の線分 OB と AB 線分①は O(0, 0) と (3, 4) を結び、線分②は (1, 3) と (4, 7) を結ぶ。どちらも横に 3、縦に 4 進む。 x y O 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 (3, 4) (1, 3) (4, 7) ① ②
解答

① \(O(0,0)\)、\(B(3,4)\)

\[ OB = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \]

② \(A(1,3)\)、\(B(4,7)\)

\(x\) の差：\(4 - 1 = 3\)、\(y\) の差：\(7 - 3 = 4\)（①と同じ差！）

\[ AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \]

2つの線分の長さは等しい。平行移動しても距離は変わらないことがわかる。

例題４　3点が与えられた場合

3点 \(A(2,\ 1)\)、\(B(6,\ 4)\)、\(C(2,\ 7)\) について、次の問いに答えよ。

(1) \(AB\) の長さを求めよ。

(2) \(BC\) の長さを求めよ。

(3) \(\triangle ABC\) はどんな三角形か答えよ。

3点 A(2, 1)、B(6, 4)、C(2, 7) 座標平面上の三角形 ABC。A(2, 1)、B(6, 4)、C(2, 7)。 x y O 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 A(2, 1) B(6, 4) C(2, 7)
解答

(1) \(AB\) の長さ

\(x\) の差：\(6-2=4\)、\(y\) の差：\(4-1=3\)

\[ AB = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \]

(2) \(BC\) の長さ

\(x\) の差：\(2-6=-4\)、\(y\) の差：\(7-4=3\)

\[ BC = \sqrt{(-4)^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \]

(3) \(CA\) の長さ

\(x\) の差：\(2-2=0\)、\(y\) の差：\(1-7=-6\)

\[ CA = \sqrt{0^2+(-6)^2} = \sqrt{36} = 6 \]

\(AB = BC = 5\)、\(CA = 6\) なので、\(\triangle ABC\) は 二等辺三角形。

自分でやってみる

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

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まとめ

2点間の距離のポイント

内容 内容
公式 \(AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
符号の扱い 差が負でも2乗するので問題なし
原点からの距離 \(\sqrt{x^2+y^2}\)（\(x_1=y_1=0\) の特殊ケース）
応用 3点の距離を比べて三角形の種類を判定
発展 距離 \(= k\) の条件から座標の値を逆算

理解度チェック

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