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  1. 数学
  2. 中学2年
  3. 数と式
  4. 連立方程式

LESSON 1 / 5

  1. Lesson 1：連立方程式の解き方（加減法）
  2. Lesson 2：連立方程式の解き方（代入法）
  3. Lesson 3：連立方程式の利用（代金・整数）
  4. Lesson 4：連立方程式の利用（速さ）
  5. Lesson 5：連立方程式の利用（割合）

連立方程式の解き方（加減法）

文字が2つの方程式でも、式が2本あれば \(x\) と \(y\) の値が決まります。2つの式をたしたりひいたりして1つの文字を消去する方法を、加減法といいます。

この単元でできるようになること

  • 連立方程式とその解の意味を説明できる
  • 係数がそろっている連立方程式を加減法で解ける
  • 式を何倍かして係数をそろえ、加減法で解ける
  • 分数や小数をふくむ連立方程式を、係数を整数に直してから解ける

前に習ったこと

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する

なぜ連立方程式が必要なのか

1年生で学んだ「2元1次方程式」を思い出そう

中学 1 年で学んだ一次方程式は、未知数（求めたい文字）が 1 つでした。

\[ 3x + 5 = 14 \]

この方程式には \(x\) という文字が 1 つだけ含まれており、解くと \(x = 3\) という1 つの答えが決まります。

文字が 2 つになるとどうなる？

では、文字が 2 つ（\(x\) と \(y\)）になるとどうなるでしょう？

\[ x + y = 10 \]

この式を満たす \((x, y)\) の組み合わせはいくつあるでしょうか？

\[ (1, 9),\quad (2, 8),\quad (3, 7),\quad (4, 6),\quad \cdots \]

なんと、無数にあります！
文字が 1 つ増えると、方程式 1 本だけでは答えが1 つに決まらないのです。

このように、2 つの文字を含む 1 次方程式を「2 元 1 次方程式」といいます。

2元1次方程式とは

\(x\)、\(y\) の 2 文字を含む 1 次方程式のこと。例：\(2x + y = 7\)、\(x - 3y = 1\)

2元1次方程式 1 本だけでは \(x\)、\(y\) の値は決まらない。

方程式が 2 本あれば決まる！

「リンゴ 2 個とみかん 1 個の値段は 270 円。リンゴ 1 個とみかん 3 個の値段は 300 円。それぞれの値段は？」

リンゴ 1 個を \(x\) 円、みかん 1 個を \(y\) 円とすると：

\[ \begin{cases} 2x + y = 270 \\ x + 3y = 300 \end{cases} \]

1 本目の式だけでは \(x\) も \(y\) も決まりません。
しかし 2 本の式をセットで使うと、\(x\) と \(y\) の値がちょうど 1 組に決まります。

このように「2元1次方程式を 2 本組み合わせたもの」を連立方程式といいます。

連立方程式とは

2 本以上の方程式を組み合わせて、それらを同時に満たす \(x\)、\(y\) の値を求めること。

\[ \begin{cases} \cdots \\ \cdots \end{cases} \]

のように中カッコでまとめて表す。

連立方程式を解く考え方

連立方程式を解くには「2 文字を 1 文字に減らす」ことが鍵です。

文字が 1 つの方程式（1元1次方程式）なら 1 年生のやり方で解けます。
\(x\) と \(y\) の 2 文字のうち、どちらか 1 文字を消す（消去する）ことができれば、あとは 1 年生の方法で解けます。

文字を消去する方法は主に 2 種類あります。

方法 概要
加減法 2 つの式を足したり引いたりして 1 文字を消去する
代入法 一方の式を他方に代入して 1 文字を消去する（次の章）

この章では加減法を学びます。

加減法の基本

「足したり引いたりする」とはどういうこと？

連立方程式の 2 本の式を足したり引いたりすることで、一方の文字を消すことができます。

具体的な例で見てみましょう。

\[ \begin{cases} x + y = 10 & \cdots ① \\ x - y = 4 & \cdots ② \end{cases} \]

①と②を足す（①＋②）と：

\[ (x + y) + (x - y) = 10 + 4 \]
\[ 2x + \cancelto{0}{(y - y)} = 14 \]
\[ 2x = 14 \implies x = 7 \]

\(y\) が消えて \(x\) だけの方程式になりました！

\(x = 7\) を①に代入：\(7 + y = 10 \implies y = 3\)

加減法の基本アイデア

同じ係数の文字どうしは、足す（または引く）と消えるる。

  • \(+y\) と \(-y\) → 足すと消える
  • \(+y\) と \(+y\) → 引くと消える

加減法の手順

\[ \begin{cases} 3x + 2y = 16 & \cdots ① \\ x + 2y = 8 & \cdots ② \end{cases} \]

Step 1：消したい文字を決める

\(y\) の係数が両方とも \(2\) で同じ → \(y\) を消すことを選ぶ。

Step 2：足すか引くかを決める

\(y\) の係数 符号 消すには
両方とも同符号（\(+2\) と \(+2\)） 同じ 引く
符号が逆（\(+2\) と \(-2\)） 違う 足す

ここでは両方 \(+2\) なので①−②を計算する。

Step 3：式を引いて文字を消去

\[ \begin{aligned} &\quad 3x + 2y = 16 \quad \cdots ① \\ -)\quad &\quad x + 2y = 8 \quad \cdots ② \\ \hline &\quad 2x \phantom{{}+2y} = 8 \end{aligned} \]
\[ 2x = 8 \implies x = 4 \]

Step 4：求めた値を代入してもう一方を求める

\(x = 4\) を②に代入：

\[ 4 + 2y = 8 \implies 2y = 4 \implies y = 2 \]

Step 5：確認（検算）

求めた解を元の 2 本の式の両方に代入して確かめる。

\[ ①：3 \times 4 + 2 \times 2 = 12 + 4 = 16 \quad \checkmark \]
\[ ②：4 + 2 \times 2 = 4 + 4 = 8 \quad \checkmark \]

どちらの式に代入するか

\(x\) が求まったら、係数が小さくて計算しやすい式に代入するのがオススメ。
最後にもう一方の式でも確認するのを忘れずに！

係数をそろえる（発展）

消したい文字の係数が一致していない場合は、両辺に数をかけてそろえる必要があります。

例：片方の式だけかける

\[ \begin{cases} 2x + y = 11 & \cdots ① \\ x + 3y = 13 & \cdots ② \end{cases} \]

\(x\) を消したい → \(x\) の係数を①は \(2\)、②は \(1\) → ②を \(2\) 倍してそろえる。

\[ ②\times 2：\quad 2x + 6y = 26 \quad \cdots ②' \]

①−②' を計算：

\[ \begin{aligned} &\quad 2x + y = 11 \quad \cdots ① \\ -)\quad &\quad 2x + 6y = 26 \quad \cdots ②' \\ \hline &\quad -5y = -15 \end{aligned} \]
\[ -5y = -15 \implies y = 3 \]

\(y = 3\) を①に代入する。

\[ 2x + 3 = 11 \implies 2x = 8 \implies x = 4 \]

例：両方の式をかける

\[ \begin{cases} 3x + 2y = 7 & \cdots ① \\ 2x + 3y = 8 & \cdots ② \end{cases} \]

どちらの文字も係数がそろっていない。
\(x\) を消す場合：①を \(2\) 倍、②を \(3\) 倍して \(x\) の係数を \(6\) にそろえる。

\[ ①\times 2：\quad 6x + 4y = 14 \quad \cdots ①' \]
\[ ②\times 3：\quad 6x + 9y = 24 \quad \cdots ②' \]

②'−①' を計算：

\[ \begin{aligned} &\quad 6x + 9y = 24 \quad \cdots ②' \\ -)\quad &\quad 6x + 4y = 14 \quad \cdots ①' \\ \hline &\quad 5y = 10 \end{aligned} \]
\[ y = 2 \]

\(y = 2\) を①に代入する。

\[ 3x + 4 = 7 \implies 3x = 3 \implies x = 1 \]

確認：\(①: 3+4=7\ \checkmark\)、\(②: 2+6=8\ \checkmark\)

係数をそろえる数の選び方

消したい文字の係数の最小公倍数（LCM）になるようにかける数を選ぶ。

例：係数が \(3\) と \(4\) なら → 最小公倍数 \(12\) にそろえる（①を \(4\) 倍、②を \(3\) 倍）

例題

例題１：基本（足して消去）

\[ \begin{cases} 2x - y = 1 & \cdots ① \\ x + y = 8 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

\(y\) の符号が逆（\(-y\) と \(+y\)）なので、①+②で \(y\) を消去する。

\[ \begin{aligned} &\quad 2x - y = 1 \quad \cdots ① \\ +)\quad &\quad x + y = 8 \quad \cdots ② \\ \hline &\quad 3x \phantom{{}-y} = 9 \end{aligned} \]
\[ 3x = 9 \implies x = 3 \]

\(x = 3\) を②に代入：

\[ 3 + y = 8 \implies y = 5 \]

確認：\(①: 2\times3-5=1\ \checkmark\)、\(②: 3+5=8\ \checkmark\)

\[ \therefore\quad x = 3,\quad y = 5 \]

例題２：基本（引いて消去）

\[ \begin{cases} 3x + 2y = 13 & \cdots ① \\[6pt] x + 2y = 7 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

\(y\) の係数の絶対値がそろっている（\(2\) と \(2\)）。

\(y\) の係数の符号が同じなので、① - ② で \(y\) を消去する。

\[ \begin{aligned} &\quad 3x + 2y = 13 \\ -)\quad &\quad x + 2y = 7 \\ \hline &\quad 2x = 6 \end{aligned} \]
\[ x = 3 \]

\(x = 3\) を①に代入する。

\[ 3 \times 3 + 2y = 13 \implies 2y = 4 \implies y = 2 \]

確認：\(①\) の左辺 \(= 13\)、\(②\) の左辺 \(= 7\)（どちらも右辺と等しい）

\[ \therefore\quad x = 3,\quad y = 2 \]

例題３：片方の式を何倍かする

\[ \begin{cases} 3x + y = 11 & \cdots ① \\[6pt] 2x - 3y = 11 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

\(y\) の係数 \(1\) と \(-3\) の絶対値を \(3\) にそろえる。

\[ ①\times 3：\quad 9x + 3y = 33 \]

\(y\) の係数の符号がちがうので、①×3 + ② で \(y\) を消去する。

\[ \begin{aligned} &\quad 9x + 3y = 33 \\ +)\quad &\quad 2x - 3y = 11 \\ \hline &\quad 11x = 44 \end{aligned} \]
\[ x = 4 \]

\(x = 4\) を①に代入する。

\[ 3 \times 4 + y = 11 \implies y = -1 \]

確認：\(①\) の左辺 \(= 11\)、\(②\) の左辺 \(= 11\)（どちらも右辺と等しい）

\[ \therefore\quad x = 4,\quad y = -1 \]

例題４：両方の式をかける

\[ \begin{cases} 4x - 3y = 5 & \cdots ① \\ 3x - 2y = 4 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

\(y\) を消す：\(y\) の係数は \(3\) と \(2\) → 最小公倍数 \(6\) にそろえる。

\[ ①\times 2：\quad 8x - 6y = 10 \quad \cdots ①' \]
\[ ②\times 3：\quad 9x - 6y = 12 \quad \cdots ②' \]

\(y\) の係数が同じ \(-6\) なので ②'−①'で消去する。

\[ \begin{aligned} &\quad 9x - 6y = 12 \quad \cdots ②' \\ -)\quad &\quad 8x - 6y = 10 \quad \cdots ①' \\ \hline &\quad x \phantom{{}-6y} = 2 \end{aligned} \]

\(x = 2\) を①に代入：

\[ 4\times2 - 3y = 5 \implies 8 - 3y = 5 \implies 3y = 3 \implies y = 1 \]

確認：\(①: 8-3=5\ \checkmark\)、\(②: 6-2=4\ \checkmark\)

\[ \therefore\quad x = 2,\quad y = 1 \]

例題５：分数を含む連立方程式

\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 & \cdots ① \\[6pt] \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{3} = -1 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

まず各式の分母をはらって、係数を整数にする。右辺にもかけるのを忘れないこと。

①の両辺に \(6\) をかけて、分母をはらう。

\[ 3x + 2y = 24 \quad \cdots ①' \]

②の両辺に \(12\) をかけて、分母をはらう。

\[ 3x - 4y = -12 \quad \cdots ②' \]

整数の係数の連立方程式になった。

\(x\) の係数の絶対値がそろっている（\(3\) と \(3\)）。

\(x\) の係数の符号が同じなので、①' - ②' で \(x\) を消去する。

\[ \begin{aligned} &\quad 3x + 2y = 24 \\ -)\quad &\quad 3x - 4y = -12 \\ \hline &\quad 6y = 36 \end{aligned} \]
\[ y = 6 \]

\(y = 6\) を①'に代入する。

\[ 3x + 2 \times 6 = 24 \implies 3x = 12 \implies x = 4 \]

確認：\(①\) の左辺 \(= 4\)、\(②\) の左辺 \(= -1\)（どちらも右辺と等しい）

\[ \therefore\quad x = 4,\quad y = 6 \]

例題６：小数を含む連立方程式

\[ \begin{cases} 0.3x + 0.2y = 1.6 & \cdots ① \\[6pt] 0.5x - 0.1y = 0.5 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

まず各式の両辺に \(10\) をかけて、小数を整数に直す。

①の両辺に \(10\) をかけて、小数を整数に直す。

\[ 3x + 2y = 16 \quad \cdots ①' \]

②の両辺に \(10\) をかけて、小数を整数に直す。

\[ 5x - y = 5 \quad \cdots ②' \]

整数の係数の連立方程式になった。

\(y\) の係数 \(2\) と \(-1\) の絶対値を \(2\) にそろえる。

\[ ②'\times 2：\quad 10x - 2y = 10 \]

\(y\) の係数の符号がちがうので、①' + ②'×2 で \(y\) を消去する。

\[ \begin{aligned} &\quad 3x + 2y = 16 \\ +)\quad &\quad 10x - 2y = 10 \\ \hline &\quad 13x = 26 \end{aligned} \]
\[ x = 2 \]

\(x = 2\) を②'に代入する。

\[ 5 \times 2 - y = 5 \implies -y = -5 \implies y = 5 \]

確認：\(①\) の左辺 \(= 1.6\)、\(②\) の左辺 \(= 0.5\)（どちらも右辺と等しい）

\[ \therefore\quad x = 2,\quad y = 5 \]

例題７：小数第2位までの連立方程式

\[ \begin{cases} 0.04x + 0.03y = 0.26 & \cdots ① \\[6pt] 0.2x - 0.1y = -0.2 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

小数第2位まであるときは \(100\)、小数第1位までなら \(10\) をかける。式ごとにかける数がちがってよい。

①の両辺に \(100\) をかけて、小数を整数に直す。

\[ 4x + 3y = 26 \quad \cdots ①' \]

②の両辺に \(10\) をかけて、小数を整数に直す。

\[ 2x - y = -2 \quad \cdots ②' \]

整数の係数の連立方程式になった。

\(y\) の係数 \(3\) と \(-1\) の絶対値を \(3\) にそろえる。

\[ ②'\times 3：\quad 6x - 3y = -6 \]

\(y\) の係数の符号がちがうので、①' + ②'×3 で \(y\) を消去する。

\[ \begin{aligned} &\quad 4x + 3y = 26 \\ +)\quad &\quad 6x - 3y = -6 \\ \hline &\quad 10x = 20 \end{aligned} \]
\[ x = 2 \]

\(x = 2\) を②'に代入する。

\[ 2 \times 2 - y = -2 \implies -y = -6 \implies y = 6 \]

確認：\(①\) の左辺 \(= 0.26\)、\(②\) の左辺 \(= -0.2\)（どちらも右辺と等しい）

\[ \therefore\quad x = 2,\quad y = 6 \]

自分でやってみる

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

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間違えやすいポイント

よくある間違い

  • 分母をはらうとき、右辺への掛け算を忘れる：両辺のすべての項に同じ数をかけること
  • 分数・小数の式で、カッコをはらい忘れる：\(\dfrac{2x-1}{3}\times3 = 2x-1\)（カッコごと \(3\) 倍）
  • 引き算のときの符号ミス：\(A - (-B) = A + B\)（マイナス×マイナスはプラス）
  • 確認を片方の式だけで済ませる：必ず2 本とも確認する

まとめ

加減法の手順

ステップ やること
① 前処理 分数は分母をはらう、小数は10倍して整数にする
② 消す文字を決める どちらの文字を消すか決める
③ 係数をそろえる 消す文字の係数が同じになるように、適切な数をかける
④ 足す・引く 符号が逆なら足す、同じなら引く
⑤ 1文字を求める 残った1文字の方程式を解く
⑥ もう1文字を求める 求めた値を代入してもう1文字を求める
⑦ 確認 元の2本の式に両方代入して確かめる

足す？引く？の判断

消したい文字の係数の符号を見る。

  • 符号が逆（\(+a\) と \(-a\)）→ 足す（\(+\) と \(-\) が打ち消し合う）
  • 符号が同じ（\(+a\) と \(+a\) や \(-a\) と \(-a\)）→ 引く

理解度チェック

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