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  1. 数学
  2. 中学2年
  3. 数と式
  4. 連立方程式

LESSON 2 / 5

  1. Lesson 1：連立方程式の解き方（加減法）
  2. Lesson 2：連立方程式の解き方（代入法）
  3. Lesson 3：連立方程式の利用（代金・整数）
  4. Lesson 4：連立方程式の利用（速さ）
  5. Lesson 5：連立方程式の利用（割合）

連立方程式の解き方（代入法）

一方の式を「\(y = \cdots\)」や「\(x = \cdots\)」の形にして、もう一方の式に代入すると、1つの文字の方程式になります。この方法を代入法といいます。

この単元でできるようになること

  • 代入法の手順を説明できる
  • 「\(y = \cdots\)」の形の式があるとき、代入法で解ける
  • 式を変形してから代入法で解ける
  • 加減法と代入法を、式の形に合わせて使い分けられる

前に習ったこと

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する

代入法とは

前の章では加減法（式を足したり引いたりして 1 文字を消去する方法）を学びました。

連立方程式を解くもう 1 つの方法が代入法です。

代入法とは

一方の式を「\(x = \cdots\)」または「\(y = \cdots\)」の形に変形し、
その式をもう一方の式に代入（あてはめ）することで 1 文字を消去する方法。

代入法が特に便利な場面

加減法でも代入法でも、どちらで解いても答えは同じです。
ただし、式の形によっては代入法の方がすばやく解けることがあります。

式の特徴 向いている方法
どちらかの式が「\(x = \cdots\)」や「\(y = \cdots\)」の形になっている 代入法
どちらかの文字の係数が \(1\) または \(-1\) 代入法（\(=\) の形に変形しやすい）
係数がそろっていて整数どうし 加減法・代入法どちらでも

代入法が楽な場面

\(y = 2x + 1\) のように、すでに「\(y = \cdots\)」の形になっている式があれば、
そのままもう一方の式に代入できるので手間が少なくなります。

代入法の手順

\[ \begin{cases} y = 2x - 1 & \cdots ① \\ 3x + y = 9 & \cdots ② \end{cases} \]

Step 1：「\(\bigcirc = \cdots\)」の式を確認する

①がすでに「\(y = 2x - 1\)」の形になっている。

Step 2：もう一方の式に代入する

②の \(y\) のところに \(2x - 1\) をそのまま代入する。

\[ 3x + \underbrace{(2x - 1)}_{y = 2x-1} = 9 \]
\[ 3x + 2x - 1 = 9 \]

Step 3：1 文字の方程式を解く

\[ 5x = 10 \implies x = 2 \]

Step 4：求めた値を代入してもう一方を求める

\(x = 2\) を①に代入：

\[ y = 2 \times 2 - 1 = 3 \]

Step 5：確認（検算）

求めた解を元の 2 本の式の両方に代入して確かめる。

\[ ①：y = 2 \times 2 - 1 = 3 \quad \checkmark \]
\[ ②：3 \times 2 + 3 = 9 \quad \checkmark \]
\[ \therefore\quad x = 2,\quad y = 3 \]

代入するときはカッコをつける

\(y = 2x - 1\) を代入するとき、\(3x + 2x - 1\) ではなく
\(3x + \boldsymbol{(}2x - 1\boldsymbol{)}\) とカッコをつけてから展開する。
特に負の符号がある場合にカッコを忘れるとミスが起きやすい。

「\(y = \cdots\)」の形に変形する

式がすでに「\(y = \cdots\)」の形でなくても、移項して変形してから代入できます。

\[ \begin{cases} 2x + y = 7 & \cdots ① \\[6pt] x + 3y = 11 & \cdots ② \end{cases} \]

①を「\(y = \cdots\)」の形に変形する。

\[ y = 7 - 2x \quad \cdots ①' \]

①'を②に代入する。

\[ x + 3(7 - 2x) = 11 \]
\[ 21 - 5x = 11 \]
\[ -5x = -10 \implies x = 2 \]

\(x = 2\) を①'に代入する。

\[ y = 7 - 2\times 2 = 3 \]

確認：\(①\) の左辺 \(= 7\)、\(②\) の左辺 \(= 11\)（どちらも右辺と等しい）

\[ \therefore\quad x = 2,\quad y = 3 \]

どちらの式を変形するか

係数が \(1\) または \(-1\) の文字が含まれている式を選ぶと、
分数が出にくく計算が楽になります。

加減法と代入法の使い分け

同じ連立方程式を両方の方法で解いてみて、比べてみましょう。

\[ \begin{cases} x + y = 5 & \cdots ① \\ 2x - y = 4 & \cdots ② \end{cases} \]

加減法で解く

①+②（\(+y\) と \(-y\) を消去）：

\[ 3x = 9 \implies x = 3 \]

\(x = 3\) を①に代入：\(y = 2\)

代入法で解く

①を「\(y = \cdots\)」の形に変形：

\[ y = 5 - x \quad \cdots ①' \]

①' を②に代入：

\[ 2x - (5 - x) = 4 \implies 3x = 9 \implies x = 3 \]

\(x = 3\) を①'に代入：\(y = 2\)

どちらも同じ答え \(x = 3,\ y = 2\) になります。
この問題では加減法の方が手順が少なく楽ですが、式の形によって変わります。

方法の選び方まとめ

  • 「\(y = \cdots\)」「\(x = \cdots\)」の形がすでにある → 代入法
  • どちらかの文字の係数が \(\pm 1\) → 代入法（変形が簡単）
  • 係数がそろっている・整数どうし → 加減法の方が速いことが多い
  • 判断に迷ったら どちらで解いても正解

例題

例題１：すでに「\(y = \cdots\)」の形がある

\[ \begin{cases} y = x + 3 & \cdots ① \\ 2x + y = 9 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

①がすでに「\(y = x + 3\)」の形 → ②に代入する。

\[ 2x + (x + 3) = 9 \]
\[ 3x + 3 = 9 \implies 3x = 6 \implies x = 2 \]

\(x = 2\) を①に代入：

\[ y = 2 + 3 = 5 \]

確認：\(①: 5=2+3\ \checkmark\)、\(②: 4+5=9\ \checkmark\)

\[ \therefore\quad x = 2,\quad y = 5 \]

例題２：「\(x = \cdots\)」の形を代入する

\[ \begin{cases} x = 3y - 1 & \cdots ① \\ 2x + y = 12 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

①が「\(x = 3y - 1\)」の形 → ②の \(x\) に代入する。

\[ 2(3y - 1) + y = 12 \]
\[ 6y - 2 + y = 12 \]
\[ 7y = 14 \implies y = 2 \]

\(y = 2\) を①に代入：

\[ x = 3 \times 2 - 1 = 5 \]

確認：\(①: 5=6-1\ \checkmark\)、\(②: 10+2=12\ \checkmark\)

\[ \therefore\quad x = 5,\quad y = 2 \]

例題３：変形してから代入する（係数が 1）

\[ \begin{cases} x + 2y = 8 & \cdots ① \\ 3x - y = 3 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

①で \(x\) の係数が \(1\) → ①を「\(x = \cdots\)」の形に変形する。

\[ x = 8 - 2y \quad \cdots ①' \]

①' を②に代入する。

\[ 3(8 - 2y) - y = 3 \]
\[ 24 - 6y - y = 3 \]
\[ -7y = -21 \implies y = 3 \]

\(y = 3\) を①'に代入：

\[ x = 8 - 2 \times 3 = 2 \]

確認：\(①: 2+6=8\ \checkmark\)、\(②: 6-3=3\ \checkmark\)

\[ \therefore\quad x = 2,\quad y = 3 \]

例題４：変形してから代入する（係数が −1）

\[ \begin{cases} 2x - y = 5 & \cdots ① \\[6pt] 3x + 2y = 11 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

①で \(y\) の係数が \(-1\)。\(-y\) のまま代入せず、両辺に \(-1\) をかけて「\(y = \cdots\)」の形にする。

①を「\(y = \cdots\)」の形に変形する。

\[ -y = 5 - 2x \implies y = 2x - 5 \quad \cdots ①' \]

①'を②に代入する。

\[ 3x + 2(2x - 5) = 11 \]
\[ 7x - 10 = 11 \]
\[ 7x = 21 \implies x = 3 \]

\(x = 3\) を①'に代入する。

\[ y = 2\times 3 - 5 = 1 \]

確認：\(①\) の左辺 \(= 5\)、\(②\) の左辺 \(= 11\)（どちらも右辺と等しい）

\[ \therefore\quad x = 3,\quad y = 1 \]

例題５：分数を含む連立方程式

\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} - y = 1 & \cdots ① \\[6pt] 3x + 2y = 14 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

まず分母をはらって、係数を整数にする。

①の両辺に \(2\) をかけて、分母をはらう。

\[ x - 2y = 2 \quad \cdots ①' \]

整数の係数の連立方程式になった。

①'を「\(x = \cdots\)」の形に変形する。

\[ x = 2y + 2 \quad \cdots ①'' \]

①''を②に代入する。

\[ 3(2y + 2) + 2y = 14 \]
\[ 8y + 6 = 14 \]
\[ 8y = 8 \implies y = 1 \]

\(y = 1\) を①''に代入する。

\[ x = 2\times 1 + 2 = 4 \]

確認：\(①\) の左辺 \(= 1\)、\(②\) の左辺 \(= 14\)（どちらも右辺と等しい）

\[ \therefore\quad x = 4,\quad y = 1 \]

例題６：小数を含む連立方程式

\[ \begin{cases} 0.2x + 0.1y = 0.7 & \cdots ① \\[6pt] x - 3y = -7 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

まず両辺に \(10\) をかけて、小数を整数に直す。

①の両辺に \(10\) をかけて、小数を整数に直す。

\[ 2x + y = 7 \quad \cdots ①' \]

整数の係数の連立方程式になった。

①'を「\(y = \cdots\)」の形に変形する。

\[ y = 7 - 2x \quad \cdots ①'' \]

①''を②に代入する。

\[ x - 3(7 - 2x) = -7 \]
\[ 7x - 21 = -7 \]
\[ 7x = 14 \implies x = 2 \]

\(x = 2\) を①''に代入する。

\[ y = 7 - 2\times 2 = 3 \]

確認：\(①\) の左辺 \(= 0.7\)、\(②\) の左辺 \(= -7\)（どちらも右辺と等しい）

\[ \therefore\quad x = 2,\quad y = 3 \]

例題７：カッコがある連立方程式

\[ \begin{cases} 3(x - y) = x + 5 & \cdots ① \\ y = 2x - 7 & \cdots ② \end{cases} \]
解答

②がすでに「\(y = \cdots\)」の形 → まず①を展開・整理してから代入する。

①を展開する：

\[ 3x - 3y = x + 5 \implies 2x - 3y = 5 \quad \cdots ①' \]

①' に②（\(y = 2x - 7\)）を代入する：

\[ 2x - 3(2x - 7) = 5 \]
\[ 2x - 6x + 21 = 5 \]
\[ -4x = -16 \implies x = 4 \]

\(x = 4\) を②に代入：

\[ y = 2 \times 4 - 7 = 1 \]

確認：\(①: 3(4-1)=9=4+5\ \checkmark\)、\(②: 1=8-7\ \checkmark\)

\[ \therefore\quad x = 4,\quad y = 1 \]

自分でやってみる

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

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間違えやすいポイント

よくある間違い

  • カッコをつけ忘れる：\(y = 2x - 1\) を代入するとき、\(3x + 2x - 1\)（❌） → \(3x + (2x - 1)\)（✅）
  • 符号の変形ミス：\(-y = 3 - x\) → \(y = x - 3\)（両辺に \(-1\) をかけて符号をすべて逆にする）
  • 代入する式と代入される式を混同する：変形した式（①'）はもう一方の式（②）に代入する
  • 確認を 1 本だけで済ませる：必ず元の 2 本とも確認する

まとめ

代入法の手順

ステップ やること
① 前処理 分数は分母をはらう、小数は10倍して整数にする
② 変形する どちらかの式を「\(x = \cdots\)」または「\(y = \cdots\)」の形にする
③ 代入する 変形した式をもう一方の式に代入する（カッコをつける！）
④ 1文字を解く 1文字の方程式を解く
⑤ もう1文字を求める 求めた値を変形した式に代入する
⑥ 確認する 元の2本の式に両方代入して確かめる

代入法が有利な場面

  • 「\(y = \cdots\)」「\(x = \cdots\)」の形がすでにある
  • どちらかの文字の係数が \(1\) または \(-1\)（変形が簡単）

理解度チェック

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