平行線と角¶

2直線に1本の直線が交わるとき、できる角には対頂角・同位角・錯角という名前があります。平行線の性質と三角形・多角形の角の性質を使うと、いろいろな角の大きさが求められます。

この単元でできるようになること¶

• 対頂角・同位角・錯角を見分けられる
• 平行線の性質と、平行線になるための条件を説明できる
• 三角形の内角・外角の性質を使って角を求められる
• 多角形の内角の和・外角の和を求められる

前に習ったこと¶

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

基本を理解する¶

角の名前を覚える¶

2本の直線に1本の直線（横断線）が交わるとき、できる角には名前がついています。

対頂角は「いつでも」等しい¶

平行かどうかに関係なく、2直線が交わればいつでも対頂角は等しくなります。

理由 一直線の角は \(180°\) なので

両方から同じ \(\angle b\) を引くと \(\angle a = \angle c\) になります。

平行線の性質と、その逆¶

「平行だから角が等しい」と「角が等しいから平行」は逆向きの使い方です。問題によってどちらを使うか変わります。

角度を求める問題¶

例題1¶

\(\ell \parallel m\) のとき、\(\angle x\) を求めなさい。

\(\ell\) 上の同位角が \(65°\)、\(\angle x\) はその錯角の位置にあるとします。

例題2（補助線を引く）¶

\(\ell \parallel m\) で、間に折れ線があるとき、\(\angle x\) を求めなさい。 上の角が \(40°\)、下の角が \(30°\) とします。

三角形の内角と外角¶

内角の和が \(180°\) になる理由¶

頂点 A を通り、辺 BC に平行な直線を引きます。

すると錯角によって、\(\angle B\) と \(\angle C\) が頂点 A のところに移動してきます。 \(\angle A\) と合わせると一直線になるので、

外角の性質¶

理由 \(\angle ACB + \angle ACD = 180°\) かつ \(\angle A + \angle B + \angle ACB = 180°\) なので、 両方から \(\angle ACB\) を引いて \(\angle ACD = \angle A + \angle B\)。

多角形の角¶

内角の和の理由¶

\(n\) 角形は、1つの頂点から対角線を引くと \((n-2)\) 個の三角形に分けられます。 三角形1つが \(180°\) なので、\(180° \times (n-2)\) です。

正多角形の1つの角¶

正 \(n\) 角形は全部の角が等しいので

自分でやってみる¶

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

まとめ¶

• 対頂角はいつでも等しい。同位角・錯角は平行なときだけ
• 平行線の間の折れ線 → 折れ点を通る平行な補助線
• 三角形の内角の和 \(180°\)、外角 ＝ となり合わない2内角の和
• \(n\) 角形の内角の和 \(= 180°(n-2)\)、外角の和はいつでも \(360°\)
• 正多角形は外角から求めると速い

次は 合同と証明 で、図形の性質を証明する方法を学びます。

理解度チェック¶