LESSON 1 / 2
多項式の計算¶
数や文字の積だけの式を単項式、単項式の和の形の式を多項式といいます。同類項をまとめたり、分配法則を使ったりして、多項式の計算をしましょう。
この単元でできるようになること¶
- 単項式・多項式の次数と係数を答えられる
- 同類項をまとめられる
- 多項式の加法・減法ができる（ひくときの符号に注意できる）
- 多項式と単項式の乗法・除法ができる
前に習ったこと¶
始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。
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基本を理解する¶
単項式・多項式の基本¶
単項式とは¶
数や文字の積だけでできている式を単項式という。
\[ 3x, \quad -5ab, \quad 7, \quad \frac{1}{2}x^2 \]
単項式において、かけ合わせた文字の個数を次数、数の部分を係数という。
| 単項式 | 係数 | 次数 |
|---|---|---|
| \(3x\) | \(3\) | \(1\) |
| \(-5ab\) | \(-5\) | \(2\) |
| \(\frac{1}{2}x^2\) | \(\frac{1}{2}\) | \(2\) |
| \(7\) | \(7\) | \(0\) |
多項式とは¶
単項式の和の形で表された式を多項式という。多項式を構成するひとつひとつの単項式を項という。
\[ 2x + 3y - 5 \]
この多項式の項は \(2x\)、\(3y\)、\(-5\) の３つ。
多項式の次数は、各項の次数のうち最も大きいもの。
\[ 3x^2 + 2x - 1 \quad \Rightarrow \quad \text{２次式} \]
同類項
文字の部分が同じ項を同類項という。同類項はまとめることができる。
\[ 3x + 5x = 8x, \quad 2x^2 - x^2 = x^2 \]
多項式の加法・減法¶
多項式の加法¶
多項式どうしをたすときは、同類項をまとめる。
\[ (3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 5x + 4) \]
\[ = 3x^2 + x^2 + 2x - 5x - 1 + 4 \]
\[ = 4x^2 - 3x + 3 \]
多項式の減法¶
多項式を引くときは、引く式の各項の符号を変えてたす。
\[ (3x^2 + 2x - 1) - (x^2 - 5x + 4) \]
\[ = 3x^2 + 2x - 1 - x^2 + 5x - 4 \]
\[ = 2x^2 + 7x - 5 \]
符号に注意！
引き算では、かっこを外すときにすべての項の符号が変わる。
\[ -(x^2 - 5x + 4) = -x^2 + 5x - 4 \]
多項式と単項式の乗除¶
多項式 × 単項式¶
単項式を多項式の各項にかける（分配法則）。
\[ 3x(2x + 5) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 5 = 6x^2 + 15x \]
\[ -2a(a^2 - 3a + 1) = -2a \cdot a^2 + (-2a)(-3a) + (-2a)(1) \]
\[ = -2a^3 + 6a^2 - 2a \]
多項式 ÷ 単項式¶
多項式の各項を単項式で割る。
\[ (6x^2 + 9x) \div 3x = \frac{6x^2}{3x} + \frac{9x}{3x} = 2x + 3 \]
分数の形にして計算しよう
\[ (8a^3 - 4a^2) \div 2a = \frac{8a^3 - 4a^2}{2a} = \frac{8a^3}{2a} - \frac{4a^2}{2a} = 4a^2 - 2a \]
例題¶
例題１¶
次の多項式の次数と、\(x\) の係数を答えよ。
\[ 4x^3 - 2x^2 + x - 7 \]
解答
- 次数：３次（最も次数が高い項 \(4x^3\) の次数が３）
- \(x\) の係数：１（\(x = 1 \cdot x\) なので係数は \(1\)）
例題２¶
次の計算をせよ。
\[ (2a^2 - 3a + 1) + (-a^2 + 4a - 5) \]
解答
\[ = 2a^2 - a^2 - 3a + 4a + 1 - 5 \]
\[ = a^2 + a - 4 \]
例題３¶
次の計算をせよ。
\[ (4x^2 - x + 3) - (2x^2 + 3x - 2) \]
解答
\[ = 4x^2 - x + 3 - 2x^2 - 3x + 2 \]
\[ = 2x^2 - 4x + 5 \]
例題４¶
次の計算をせよ。
\[ 2x(3x^2 - x + 4) \]
解答
\[ = 2x \cdot 3x^2 + 2x \cdot (-x) + 2x \cdot 4 \]
\[ = 6x^3 - 2x^2 + 8x \]
例題５¶
次の計算をせよ。
\[ (12x^3 - 8x^2 + 4x) \div 4x \]
解答
\[ = \frac{12x^3}{4x} - \frac{8x^2}{4x} + \frac{4x}{4x} \]
\[ = 3x^2 - 2x + 1 \]
自分でやってみる¶
解いたら「答えを確認」で確かめよう。
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まとめ¶
この章のポイント
- 単項式は積だけ、多項式は和の形。次数・係数を確認しよう。
- 多項式の加減は同類項をまとめる。引き算は符号に要注意。
- 多項式×単項式は分配法則、多項式÷単項式は各項を割る。
理解度チェック¶
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