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  1. 数学
  2. 中学1年
  3. 数と式
  4. 文字式

LESSON 3 / 3

  1. Lesson 1：一次式の計算
  2. Lesson 2：一次式と分配法則
  3. Lesson 3：規則性の問題

規則性の問題

マッチ棒の本数や数の並びのように、同じ増え方がくり返されるものは、\(n\) 番目を一次式で表せます。表を作って「差」を見つけるのがコツです。

この単元でできるようになること

  • 図形や数の並びから、表を作って増え方（差）を見つけられる
  • 差が一定のとき、\(n\) 番目を一次式で表せる
  • 式を使って、何番目かや本数・個数を求められる
  • 差が一定でないときは一次式にならないことを説明できる

前に習ったこと

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する

規則性の問題とは

数や図形が一定のルール（規則）で並んでいるとき、そのルールを文字式で表すと、どんな大きさの場合でも一発で答えを出せるようになる。

規則性の問題を解くステップ

  1. 小さい場合を書き出す（1番目、2番目、3番目…）
  2. 変化の規則を見つける（何ずつ増えているか）
  3. \(n\) 番目の式を立てる
  4. 式を使って答えを求める

タイプ①：マッチ棒で作る図形

正方形をつなげるパターン

マッチ棒で下の図のように正方形をつなげていく。

マッチ棒で正方形をつなげる 正方形を1個、2個、3個、4個とつなげた図。マッチ棒は4本、7本、10本、13本。 1番目 4本 2番目 7本 3番目 10本 4番目 13本

表にまとめる

番目 \(n\) 正方形の個数 マッチ棒の本数 前の番目との差
1 1 4 —
2 2 7 \(+3\)
3 3 10 \(+3\)
4 4 13 \(+3\)
\(n\) \(n\) ? \(+3\)

規則を見つける

正方形をつなげるときの本数の増え方 最初の正方形は4本（赤）。正方形を1個つなげるごとに、コの字形の3本（青）が増える。 最初の4本 +3本 +3本 4 + 3 × (n − 1) = 3n + 1

立式のポイント

\[ \text{最初の1個分（4本）} + \text{追加する}(n-1)\text{個分（1個につき3本）} \]
\[ = 4 + 3(n-1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1 \]

\(n\) 番目のマッチ棒の本数

\[ 3n + 1 \text{（本）} \]

確認： \(n=1\) のとき \(3\times1+1=4\) ✅、\(n=3\) のとき \(3\times3+1=10\) ✅

タイプ②：三角形をつなげるパターン

マッチ棒で三角形をつなげる 正三角形を上向き・下向き交互に1個、2個、3個、4個とつなげた図。マッチ棒は3本、5本、7本、9本。 1番目 3本 2番目 5本 3番目 7本 4番目 9本
番目 \(n\) 1 2 3 4 \(n\)
マッチ棒の本数 3 5 7 9 ?
差 — \(+2\) \(+2\) \(+2\) —

立式：

\[ \text{最初の3本} + \text{追加}(n-1)\text{個分} \times 2\text{本} \]
\[ = 3 + 2(n-1) = 3 + 2n - 2 = 2n + 1 \]

\(n\) 番目のマッチ棒の本数

\[ 2n + 1 \text{（本）} \]

タイプ③：点・丸で作る図形

正三角形の点の数

点を正三角形の形に並べる 1番目は1個、2番目は3個、3番目は6個、4番目は10個の点が、正三角形の形に並んでいる。 1番目 1個 2番目 3個 3番目 6個 4番目 10個
番目 \(n\) 1 2 3 4 \(n\)
点の個数 1 3 6 10 ?
差 — \(+2\) \(+3\) \(+4\) —

差が一定でない（\(+2, +3, +4, \ldots\)）ので、一次式にはならない。 この場合、\(n\) 段目の点の数は \(\dfrac{n(n+1)}{2}\) 個（2次式）。

差が一定でないときは一次式にならない

差が毎回同じ値のとき → 一次式（等差数列）

差が毎回変化するとき → 一次式にはならない（2次式以上）

規則性の問題では、まず差が一定かどうかを確認することが大切。

タイプ④：正方形の枚数と周の長さ

正方形のタイルを下の図のように \(1\) 列に並べたとき、全体の周の長さを求める。

正方形のタイルを1列に並べる 1辺1の正方形タイルを1枚、2枚、3枚、4枚と1列に並べた図。周の長さは4、6、8、10。 1枚 周 4 2枚 周 6 3枚 周 8 4枚 周 10
タイルの枚数 \(n\) 1 2 3 4 \(n\)
周の長さ 4 6 8 10 ?
差 — \(+2\) \(+2\) \(+2\) —

立式の考え方： タイルを1列に並べた全体を、横 \(n\)、縦 \(1\) の長方形と考える。

\[ \text{周の長さ} = 2 \times (n + 1) = 2n + 2 \]

\(n\) 枚並べたときの周の長さ

\[ 2n + 2 \text{（cm）}　\text{（1辺が 1 cm のとき）} \]

タイプ⑤：数の並び（等差数列）

奇数の列

\[ 1,\quad 3,\quad 5,\quad 7,\quad 9,\quad \ldots \]
番目 \(n\) 1 2 3 4 5 \(n\)
値 1 3 5 7 9 ?

差は \(+2\) で一定。\(n = 1\) のとき \(1\) なので：

\[ 2n - 1 \]

確認： \(n=1 \to 1\) ✅、\(n=3 \to 5\) ✅、\(n=5 \to 9\) ✅

等差数列の一般式を求める手順

等差数列の式の立て方

差が \(d\)（一定）で、1番目の値が \(a\) の数の列の \(n\) 番目は：

\[ a + (n-1) \times d \]

これを展開して整理すると \(n\) の一次式になる。

例） \(5, 8, 11, 14, \ldots\)（差 \(d=3\)、最初 \(a=5\)）

\[5 + (n-1) \times 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2\]

例題

例題１　マッチ棒（正方形）

マッチ棒で正方形をつなげていく。\(n\) 番目のマッチ棒の本数を求めよ。また、マッチ棒が \(40\) 本のとき、何番目か求めよ。

解答

\(n\) 番目の式：

\[3n + 1 \text{（本）}\]

（解説ページの内容より）

40本のとき：

\[3n + 1 = 40\]
\[3n = 39\]
\[n = 13\]

13番目のとき40本になる。

例題２　数の列

\[ 4,\quad 7,\quad 10,\quad 13,\quad \ldots \]

(1) \(n\) 番目の数を \(n\) の式で表せ。

(2) \(n\) 番目の数が \(100\) になるのはいつか。

(3) \(50\) 番目の数を求めよ。

解答

(1) 差は \(+3\)（一定）、1番目は \(4\)。

\[4 + (n-1) \times 3 = 4 + 3n - 3 = 3n + 1\]

(2)

\[3n + 1 = 100 \implies 3n = 99 \implies n = 33\]

33番目

(3)

\[3 \times 50 + 1 = 151\]

例題３　図形の周の長さ

1辺が \(2\) cm の正三角形のタイルを、下の図のように1列に並べる。\(n\) 枚並べたときの全体の周の長さを求めよ。

正三角形のタイルを1列に並べる 1辺2cmの正三角形タイルを、上向き・下向き交互に1枚、2枚、3枚並べた図。周の長さは6cm、8cm、10cm。 1枚 周 6cm 2枚 周 8cm 3枚 周 10cm
解答

表を作る

枚数 \(n\) 1 2 3 4
周（cm） 6 8 10 12
差 — +2 +2 +2

差が \(+2\)（cm）で一定。\(n=1\) のとき \(6\) cm なので：

\[6 + (n-1) \times 2 = 6 + 2n - 2 = 2n + 4 \text{（cm）}\]

別の考え方： タイル \(n\) 枚の全体は横 \(n \times 2\) cm、縦 \(\sqrt{3}\) cm…ではなく、

向かい合う辺が消えることに注目すると：

  • 全部の辺の数：\(3n\) 辺
  • 内側で重なって見えなくなる辺：\(n-1\) 辺
  • 外側の辺（周）：\(3n - (n-1) = 2n + 1\) 辺
  • 各辺 \(2\) cm なので：\((2n+1) \times 2 = 4n + 2\) cm

どちらの考え方も正解

表の差から立式する方法と、図形の構造から立式する方法、どちらも正しい。

例題４　正方形の枚数と本数の逆算

マッチ棒を使って正方形をつなげるとき（1個につき3本増える）、マッチ棒が \(28\) 本のとき、正方形は何個か。

解答

\(n\) 番目の式は \(3n + 1\)。

\[3n + 1 = 28\]
\[3n = 27\]
\[n = 9\]

正方形は9個。

例題５　2種類の規則が混じる問題

下のような数の列がある。

\[ 2,\quad 5,\quad 8,\quad 11,\quad \ldots \]

(1) 100番目の数を求めよ。

(2) この列に \(200\) はあるか。あるなら何番目か。

解答

差は \(+3\)（一定）、1番目は \(2\)。

\[n\text{番目} = 2 + (n-1) \times 3 = 3n - 1\]

(1) \(n = 100\) のとき：\(3 \times 100 - 1 = 299\)

(2) \(3n - 1 = 200\) とすると、\(3n = 201\)、\(n = 67\)

\(n = 67\) は整数なので、67番目に \(200\) がある。

自分でやってみる

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

問題を読み込んでいます…

間違えやすいポイント

よくあるミス

  • 差が一定かどうかを確認しないまま式を立てる（差が変化する場合は一次式にならない）
  • \(n-1\) を忘れて \(n\) にしてしまう（追加分は1番目以降なので \((n-1)\) 回）
  • 検証（代入確認）をしない（式を立てたら必ず \(n=1,2\) で確認）

まとめ

規則性の問題のポイント

手順 やること
① 書き出す 1番目〜4番目くらいまで数値を求める
② 差を確認 差が一定か確認する（一定なら一次式）
③ 式を立てる \(\text{初項} + (n-1) \times \text{差}\) を展開して整理
④ 検証する \(n=1,2,3\) を代入して合っているか確認
⑤ 逆算する 「何番目か」なら式 $= $ 目標値 の方程式を解く

理解度チェック

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