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LESSON 2 / 2

  1. Lesson 1：作図の基本
  2. Lesson 2：垂線を利用する作図

垂線を利用する作図

垂線を作図できると、三角形の高さをかいたり、点と直線の距離を求めたり、平行線をかいたりできます。この Lesson では、垂線の2つのかき方を確かめて、いろいろな場面で使います。

この単元でできるようになること

  • 垂線・垂線の足の意味を説明できる
  • 直線上の点を通る垂線を作図できる
  • 直線の外の点から垂線を作図できる
  • 三角形の高さ（垂線の足が辺の延長上にある場合もふくむ）を作図できる
  • 点と直線の距離が、垂線の長さであることを説明できる

前に習ったこと

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する

垂線とは

ある直線に垂直（\(90°\)）に交わる直線を、その直線の垂線といいます。

用語 意味
垂線 直線に垂直に交わる直線
垂線の足 垂線ともとの直線が交わる点
点と直線の距離 点から直線に引いた垂線の長さ

垂線を引く場面は、点が直線の上にあるときと、直線の外にあるときの2通りです。

ポイント

垂線を作図できると、高さ・距離・平行線・正方形や長方形の直角がかける。

直線上の点を通る垂線

直線 \(\ell\) 上の点 P を通り、\(\ell\) に垂直な直線を引きます。

直線 ℓ 上の点 P を通る垂線の作図（3ステップ） ステップ1：P を中心とする円をかき、ℓ との交点を A、B とする。ステップ2：A、B を中心として等しい半径の円をかき、その交点を Q とする。ステップ3：直線 PQ を引く。PQ は ℓ に垂直。 ℓ P A B Q
  1. P を中心とする円をかき、\(\ell\) との交点を A、B とする。
  2. A、B を中心として等しい半径の円をかき、その交点を Q とする。
  3. 直線 PQ を引く。PQ \(\perp\) \(\ell\)。

なぜ垂線になるか

PA = PB（P を中心とする円）、QA = QB（同じ半径の円）なので、P も Q も線分 AB の垂直二等分線の上にある。だから PQ \(\perp\) AB（\(\ell\)）。

直線の外の点からの垂線

直線 \(\ell\) の外にある点 P から、\(\ell\) に垂直な直線を引きます。

直線 ℓ の外の点 P から ℓ への垂線の作図（3ステップ） ステップ1：P を中心とする円をかき、ℓ との交点を A、B とする。ステップ2：A、B を中心として等しい半径の円をかき、P と反対側の交点を Q とする。ステップ3：直線 PQ を引く。PQ は ℓ に垂直。 ℓ P A B Q H
  1. P を中心に大きめの円をかき、\(\ell\) との交点を A、B とする。
  2. A、B を中心として等しい半径の円をかき、\(\ell\) について P と反対側の交点を Q とする。
  3. 直線 PQ を引く。\(\ell\) との交点 H が垂線の足。

なぜ垂線になるか

PA = PB、QA = QB なので、P と Q はどちらも線分 AB の垂直二等分線の上にある。だから PQ \(\perp\) \(\ell\)。

三角形の高さ

三角形 ABC で、頂点 A から底辺 BC（またはその延長）に引いた垂線の長さが、底辺 BC に対する高さです。

\[\text{三角形の面積} = \frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}\]

垂線の足 H が辺 BC の上にあるときは、そのまま「直線の外の点からの垂線」をかきます。

三角形の高さ（垂線の足が辺 BC の上にある場合） 三角形 ABC で、頂点 A から辺 BC に垂線 AH を引く。H は辺 BC の上にある。AH が高さ。 A B C H 高さ

\(\angle\)B が鈍角のときは、垂線の足 H が辺 BC の上ではなく、辺 CB を B の先にのばした直線の上にあります。辺をのばしてから垂線をかきます。

三角形の高さ（∠B が鈍角で、垂線の足が BC の延長上にある場合） ∠B が鈍角の三角形 ABC で、辺 CB を B の先までのばし、頂点 A から垂線 AH を引く。H は BC の延長上にある。 A B C H 高さ

ポイント

高さは、頂点から底辺またはその延長に引いた垂線の長さ。鈍角三角形では、辺をのばしてから垂線をかく。

点と直線の距離

点 P から直線 \(\ell\) 上の点に引いた線分のうち、いちばん短いのは垂線 PH です。この PH の長さを、点 P と直線 \(\ell\) の距離といいます。

点と直線の距離 直線 ℓ と、その外の点 P。P から ℓ に引いた垂線 PH がいちばん短く、PH の長さが点 P と直線 ℓ の距離。P から ℓ 上のほかの点に引いた線分（破線）は PH より長い。 ℓ P H 距離 = PH

ポイント

点と直線の距離 = 点から直線に引いた垂線の長さ

動かして確かめる

作図ラボ で、直線上の点・直線の外の点から垂線をかいてみよう。三角形をかいて、高さを作図してみるのもおすすめです。

例題

例題1　直線上の点を通る垂線

直線 \(\ell\) 上の点 P を通り、\(\ell\) に垂直な直線を作図せよ。

解き方

P が \(\ell\) の上にあるので、P を中点とする線分をつくってから、その垂直二等分線をかく。

  1. P を中心に円をかき、\(\ell\) との交点を A、B とする。
  2. A、B を中心に同じ半径の円をかき、交点を Q とする。
  3. 直線 PQ を引く。PQ \(\perp\) \(\ell\)。

例題2　直線の外の点からの垂線

直線 \(\ell\) の外にある点 P から、\(\ell\) への垂線を作図せよ。

解き方

\(\ell\) の上に、P から等しい距離の2点をつくる。

  1. P を中心に \(\ell\) と2点 A、B で交わる円をかく。
  2. A、B を中心に同じ半径の円をかき、\(\ell\) について反対側に交点 Q をとる。
  3. 直線 PQ を引く。\(\ell\) との交点 H が垂線の足。

例題3　三角形の高さ

\(\triangle\)ABC で、底辺 BC に対する高さを作図せよ。

解き方

A は直線 BC の外にある点なので、「直線の外の点からの垂線」を使う。

  1. A を中心に、直線 BC と2点で交わる円をかき、交点を D、E とする（∠B や ∠C が鈍角なら、辺 BC をのばしておく）。
  2. D、E を中心に同じ半径の円をかき、A と反対側の交点を Q とする。
  3. 直線 AQ を引く。直線 BC との交点 H が垂線の足で、AH が高さ。

自分でやってみる

ノートに作図してから、「解答・解説を見る」で確かめよう。

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間違えやすいポイント

鈍角三角形で辺をのばさない

✗ ∠B が鈍角なのに、辺 BC の上だけで垂線の足をさがす

○ 辺 CB を B の先までのばしてから垂線をかく

鈍角三角形では、垂線の足が辺の延長上にくることがある。

交点 Q を P と同じ側にとる

✗ 直線の外の点 P から垂線を引くとき、P と同じ側の交点を使う

○ \(\ell\) について P と反対側の交点を使う

P と Q が近いと、直線 PQ がずれやすい。はなれた2点を結ぶほど正確に引ける。

垂線と垂直二等分線を取りちがえる

✗ 「点 P から \(\ell\) への垂線」で、線分の垂直二等分線をかこうとする

○ 垂線は「点を通って直線に垂直」な直線、垂直二等分線は「線分の中点を通って線分に垂直」な直線

かき方は似ているが、どの点を通る直線をかくのかがちがう。

まとめ

垂線を利用する作図のポイント

場面 かき方
直線上の点から 点を中心に円 → 直線との2つの交点から同じ半径 → 交点と結ぶ
直線の外の点から 点を中心に円 → 直線との2つの交点から同じ半径（反対側）→ 交点と結ぶ
三角形の高さ 頂点から底辺（またはその延長）への垂線
点と直線の距離 点から直線への垂線の長さ
平行線 垂線を2回使う（同じ直線に垂直な2直線は平行）

理解度チェック

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