平方根の加法・減法¶
根号の中が同じ数は、文字式の同類項と同じようにまとめられます。根号の中がちがうときは、まず \(a\sqrt{b}\) の形に簡単にしてから、まとめられるか考えます。
この単元でできるようになること¶
- 根号の中が同じ数をまとめられる
- 根号を簡単にしてからまとめられる
- 根号の中がちがう項が混ざった式を計算できる
- 有理数と無理数が混ざった式を計算できる
前に習ったこと¶
始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。
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基本を理解する¶
基本の考え方¶
根号を含む式の足し算・引き算は、根号の中が同じもの（同類項）をまとめる。
文字式の計算と同じ考え方で、\(\sqrt{2}\) を \(x\) のような「文字」だと思うとわかりやすい。
\[ 3x + 5x = 8x \quad \Leftrightarrow \quad 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \]
\[ 7x - 2x = 5x \quad \Leftrightarrow \quad 7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]
根号の中が違うものはまとめられない
\[ \sqrt{2} + \sqrt{3} \quad \text{→ これ以上まとめられない} \]
\[ 3\sqrt{2} + 4\sqrt{3} \quad \text{→ これ以上まとめられない} \]
根号の中が同じ場合¶
係数だけを計算する。
\[ a\sqrt{n} + b\sqrt{n} = (a + b)\sqrt{n} \]
\[ a\sqrt{n} - b\sqrt{n} = (a - b)\sqrt{n} \]
例題１¶
次の計算をせよ。
\[ 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} \]
解答
根号の中がどちらも \(5\) なのでまとめられる。
\[ = (3 + 4)\sqrt{5} = 7\sqrt{5} \]
例題２¶
次の計算をせよ。
\[ 8\sqrt{3} - 5\sqrt{3} \]
解答
\[ = (8 - 5)\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \]
例題３¶
次の計算をせよ。
\[ 2\sqrt{7} + \sqrt{7} - 4\sqrt{7} \]
解答
\(\sqrt{7} = 1 \cdot \sqrt{7}\) に注意して、
\[ = (2 + 1 - 4)\sqrt{7} = -\sqrt{7} \]
根号を簡単にしてからまとめる¶
根号の中が一見違って見えても、簡単にすると同じになることがある。必ず先に根号を簡単にしてから計算する。
\[ \sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \]
手順
- 各項の根号を簡単にする（完全平方数を外に出す）
- 根号の中が同じものをまとめる
例題４¶
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{12} + \sqrt{27} \]
解答
まず根号を簡単にする。
\[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \]
\[ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \]
よって、
\[ 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]
例題５¶
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{50} - \sqrt{18} \]
解答
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \]
よって、
\[ 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]
例題６¶
次の計算をせよ。
\[ 3\sqrt{8} - \sqrt{32} + \sqrt{2} \]
解答
\[ 3\sqrt{8} = 3 \times 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \]
よって、
\[ 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = (6 - 4 + 1)\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \]
根号の中が異なる項が混在する場合¶
根号の中ごとに同類項をまとめる。
例題７¶
次の計算をせよ。
\[ 3\sqrt{2} + 5\sqrt{3} - \sqrt{2} + 2\sqrt{3} \]
解答
\(\sqrt{2}\) どうし、\(\sqrt{3}\) どうしでまとめる。
\[ = (3 - 1)\sqrt{2} + (5 + 2)\sqrt{3} \]
\[ = 2\sqrt{2} + 7\sqrt{3} \]
例題８¶
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{45} - \sqrt{20} + \sqrt{5} \]
解答
\[ \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \]
\[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \]
よって、
\[ 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \]
有理数と無理数が混ざる場合¶
整数（有理数）と根号（無理数）はまとめられない。それぞれ別々に計算する。
例題９¶
次の計算をせよ。
\[ (3 + 2\sqrt{6}) + (1 - 5\sqrt{6}) \]
解答
整数どうし、根号どうしを別々にまとめる。
\[ = (3 + 1) + (2 - 5)\sqrt{6} \]
\[ = 4 - 3\sqrt{6} \]
例題１０¶
次の計算をせよ。
\[ (5 - 3\sqrt{2}) - (2 + \sqrt{2}) \]
解答
かっこを外してから整理する。
\[ = 5 - 3\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} \]
\[ = (5 - 2) + (-3 - 1)\sqrt{2} \]
\[ = 3 - 4\sqrt{2} \]
自分でやってみる¶
解いたら「答えを確認」で確かめよう。
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まとめ¶
平方根の加減のポイント
- 根号の中を先に簡単にする（完全平方数を外に出す）
- 根号の中が同じものだけまとめられる（係数を計算する）
- 異なる根号どうし・整数と根号はまとめられない
文字式と対応させて考えよう
| 文字式 | 平方根 |
|---|---|
| \(3x + 5x = 8x\) | \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) |
| \(3x - x = 2x\) | \(3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}\) |
| \(2x + 3y\)（まとめられない） | \(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\)（まとめられない） |
入試の総合演習¶
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