平方根の乗法・除法¶
\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)、\(\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\) を使うと、根号をふくむ数のかけ算・わり算ができます。答えは根号の中をできるだけ小さくし、分母に根号を残さない形にします。
この単元でできるようになること¶
- 根号をふくむ数のかけ算ができる
- 根号をふくむ数のわり算ができる
- 答えを \(a\sqrt{b}\) の形や、分母を有理化した形にできる
- 分配法則を使って計算できる
前に習ったこと¶
始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。
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基本を理解する¶
乗法（掛け算）の基本¶
根号どうしの掛け算¶
\[ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \quad (a \geq 0,\ b \geq 0) \]
\[ \sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15} \]
係数がある場合¶
係数どうし、根号どうしをそれぞれかける。
\[ (m\sqrt{a}) \times (n\sqrt{b}) = mn\sqrt{ab} \]
\[ 3\sqrt{2} \times 4\sqrt{3} = (3 \times 4)\sqrt{2 \times 3} = 12\sqrt{6} \]
例題１¶
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{6} \times \sqrt{7} \]
解答
\[ = \sqrt{6 \times 7} = \sqrt{42} \]
例題２¶
次の計算をせよ。
\[ 2\sqrt{3} \times 5\sqrt{2} \]
解答
\[ = (2 \times 5)\sqrt{3 \times 2} = 10\sqrt{6} \]
例題３¶
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{3} \times \sqrt{3} \]
解答
\[ = \sqrt{3 \times 3} = \sqrt{9} = 3 \]
同じ根号どうしをかけると整数になる
\[ \sqrt{a} \times \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a \]
乗法：結果を簡単にする¶
掛け算の結果が根号で簡単にできる場合は、最後に簡単にする。
例題４¶
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{6} \times \sqrt{8} \]
解答
\[ = \sqrt{6 \times 8} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \]
例題５¶
次の計算をせよ。
\[ 3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10} \]
解答
\[ = 6\sqrt{5 \times 10} = 6\sqrt{50} = 6 \times 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \]
除法（割り算）の基本¶
根号どうしの割り算¶
\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (a \geq 0,\ b > 0) \]
\[ \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5} \]
係数がある場合¶
係数どうし、根号どうしをそれぞれ割る。
\[ \frac{m\sqrt{a}}{n\sqrt{b}} = \frac{m}{n} \sqrt{\frac{a}{b}} \]
\[ \frac{6\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = \frac{6}{2}\sqrt{\frac{10}{5}} = 3\sqrt{2} \]
例題６¶
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{21} \div \sqrt{7} \]
解答
\[ = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{21}{7}} = \sqrt{3} \]
例題７¶
次の計算をせよ。
\[ 8\sqrt{6} \div 4\sqrt{3} \]
解答
\[ = \frac{8}{4}\sqrt{\frac{6}{3}} = 2\sqrt{2} \]
除法：有理化が必要な場合¶
割り算の結果の分母に根号が残る場合は有理化する。
\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5} \]
有理化の手順
分母・分子に分母と同じ根号をかけて、分母を整数にする。
\[ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \]
例題８¶
次の計算をせよ。
\[ \frac{4}{\sqrt{3}} \]
解答
\[ = \frac{4 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \]
例題９¶
次の計算をせよ。
\[ \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \]
解答
\[ = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \]
乗除の混じった計算¶
掛け算・割り算が混じる場合は、左から順に計算する。
例題１０¶
次の計算をせよ。
\[ \sqrt{6} \times \sqrt{3} \div \sqrt{2} \]
解答
左から順に計算する。
\[ = \sqrt{6 \times 3} \div \sqrt{2} = \sqrt{18} \div \sqrt{2} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 \]
例題１１¶
次の計算をせよ。
\[ 3\sqrt{2} \times \sqrt{6} \div \sqrt{3} \]
解答
\[ = 3\sqrt{2 \times 6} \div \sqrt{3} = 3\sqrt{12} \div \sqrt{3} = 3\sqrt{\frac{12}{3}} = 3\sqrt{4} = 3 \times 2 = 6 \]
分配法則を使う計算¶
\(\sqrt{}\) を含む式でも分配法則が使える。
\[ \sqrt{a}(\sqrt{b} + \sqrt{c}) = \sqrt{ab} + \sqrt{ac} \]
例題１２¶
次の式を展開せよ。
\[ \sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \]
解答
\[ = \sqrt{3} \times \sqrt{6} + \sqrt{3} \times \sqrt{2} \]
\[ = \sqrt{18} + \sqrt{6} \]
\[ = 3\sqrt{2} + \sqrt{6} \]
例題１３¶
次の式を展開せよ。
\[ \sqrt{2}(3\sqrt{2} - \sqrt{8}) \]
解答
\[ = \sqrt{2} \times 3\sqrt{2} - \sqrt{2} \times \sqrt{8} \]
\[ = 3 \times 2 - \sqrt{16} \]
\[ = 6 - 4 = 2 \]
自分でやってみる¶
解いたら「答えを確認」で確かめよう。
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まとめ¶
乗法・除法のポイント
| 操作 | 公式 |
|---|---|
| 掛け算 | \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) |
| 割り算 | \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\) |
| 係数あり | \((m\sqrt{a})(n\sqrt{b}) = mn\sqrt{ab}\) |
| 同じ根号 | \(\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\) |
| 有理化 | \(\dfrac{b}{\sqrt{a}} = \dfrac{b\sqrt{a}}{a}\) |
入試の総合演習¶
模試対策：数学の要点と問題 — この単元を含め、提示範囲全体を練習できます。
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