LESSON 2 / 2
いろいろな式の展開¶
式の一部を1つの文字とみて置きかえたり、かける順番を工夫したりすると、複雑な式も乗法公式で展開できます。乗法公式は数の計算にも使えます。
この単元でできるようになること¶
- 式の一部を1つの文字に置きかえて展開できる
- かけ合わせる組み合わせを工夫して展開できる
- 展開した式の加減ができる
- 乗法公式を使って数の計算を工夫できる
前に習ったこと¶
始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。
問題を読み込んでいます…
基本を理解する¶
型1：かたまりを1つの文字とみる（置き換え）¶
\((x + y + 3)^2\) のように項が3つあると、公式がそのままでは使えません。 そこで、2つをひとかたまりと見て公式を使います。
置き換えの考え方
\(x + y\) を \(M\) とおくと \((M + 3)^2\) になり、公式②が使えます。
例題1¶
\((x + y + 3)^2\) を展開しなさい。
解答
\(x + y = M\) とおきます。
\(M\) をもとに戻します。
どこをかたまりにするか
同じものが2回以上出てくる部分をかたまりにすると、うまくいきます。 この問題では \((x+y)\) が2乗の中に2回現れています。
例題2¶
\((a + b - c)(a + b + c)\) を展開しなさい。
解答
\(a + b\) が両方に出てきます。\(a + b = M\) とおくと
これは公式④（和と差の積）です。もとに戻して
\(-c^2\) の符号に注意
\(-c^2\) は \(-(c^2)\) であって \((-c)^2\) ではありません。 公式④の結果は必ず「\(-\)」がつきます。
型2：組み合わせを工夫する¶
かけ算の順番を変えると、公式が使えるようになることがあります。
例題3¶
\((x + 1)(x + 2)(x - 1)(x - 2)\) を展開しなさい。
解答
このまま前から順にかけると大変です。 \((x+1)\) と \((x-1)\)、\((x+2)\) と \((x-2)\) を組にすると、公式④が2回使えます。
ここで \(x^2 = M\) とおくと
見つけ方
和と差の組（\(+1\) と \(-1\) など）を探します。 前から順にかけるより、ずっと計算が楽になります。
例題4¶
\((x + 3)(x - 3)(x^2 + 9)\) を展開しなさい。
解答
前の2つに公式④を使います。
これもまた和と差の積の形なので、もう一度公式④が使えます。
型3：項が多い式の展開¶
公式が使えないときは、分配法則で1つずつかけるしかありません。 かけ忘れを防ぐため、順番を決めて進めます。
例題5¶
\((a + b)(x + y + z)\) を展開しなさい。
解答
前の各項を、後ろのすべての項にかけます。
項の数は \(2 \times 3 = 6\) 個になります。
項の数で検算する
\(m\) 項 × \(n\) 項なら、同類項をまとめる前は \(m \times n\) 項できます。 数が合わなければ、かけ忘れがあります。
計算を工夫する¶
展開公式は、数の計算にも使えます。
例題6¶
次を工夫して計算しなさい。
- \(103^2\)
- \(98^2\)
- \(52 \times 48\)
解答
(1) \(103 = 100 + 3\) とみて公式②
(2) \(98 = 100 - 2\) とみて公式③
(3) \(52 = 50 + 2\)、\(48 = 50 - 2\) とみて公式④
きりのよい数を見つける
\(100\) や \(50\) など、計算しやすい数を基準にして 「\(\bigcirc + \triangle\)」「\(\bigcirc - \triangle\)」の形に直すのがコツです。
自分でやってみる¶
解いたら「答えを確認」で確かめよう。
問題を読み込んでいます…
まとめ¶
- 項が3つ以上なら、同じものが繰り返される部分を1文字に置き換える
- 和と差の組を見つけると、公式④が使えて計算が楽になる
- 公式が使えないときは分配法則。\(m \times n\) 項できることで検算する
- \(103^2\) や \(52 \times 48\) のような数の計算にも公式が使える
次は 因数分解の応用 で、逆向きの操作を練習します。
理解度チェック¶
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