円周角と中心角¶
円周上の点を頂点とし、円周上の2点を通る2本の弦がつくる角を円周角といいます。同じ弧に対する円周角は、中心角の半分で、どれも等しい大きさになります。
この単元でできるようになること¶
- 円周角と中心角の意味を説明できる
- 円周角の定理を使って角の大きさを求められる
- 同じ弧に対する円周角が等しいことを使える
- 直径に対する円周角が 90° であることを使える
- 円周角の定理の逆を説明できる
前に習ったこと¶
始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。
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基本を理解する¶
円周角と中心角とは¶
円の上に点 A、B、P をとるとき、
- 中心角：円の中心 O を頂点とする角 \(\angle AOB\)
- 円周角：円の周上の点 P を頂点とし、同じ弧 AB に対する角 \(\angle APB\)
円周角の定理¶
円周角の定理
同じ弧に対する円周角は中心角の半分である。
同じ弧に対する円周角はすべて等しい¶
等しい円周角
同じ弧に対する円周角は、頂点がどこにあってもすべて等しい。
半円の弧に対する円周角¶
半円の弧に対する円周角
AB が円の直径のとき、円周上の点 P に対して
円周角の定理の逆¶
円周角の定理の逆
2点 P、Q が直線 AB について同じ側にあって、\(\angle APB = \angle AQB\) であれば、4点 A、P、Q、B は1つの円の上にある（同一円周上にある）。
例題¶
例題１ 中心角から円周角を求める¶
右の図で、\(\angle AOB = 100°\) のとき、\(\angle APB\) を求めよ。
解答
円周角の定理より、
例題２ 円周角から中心角を求める¶
右の図で、\(\angle APB = 40°\) のとき、\(\angle AOB\) を求めよ。
解答
円周角の定理より、中心角は円周角の2倍。
例題３ 半円の弧に対する円周角¶
右の図で、AB は直径、\(\angle BAP = 35°\) のとき、\(\angle APB\) と \(\angle ABP\) を求めよ。
解答
\(\angle APB\) を求める
AB は直径なので、半円の弧に対する円周角より、
\(\angle ABP\) を求める
三角形 ABP の内角の和より、
例題４ 同じ弧に対する円周角¶
右の図で、\(\angle APB = 65°\) のとき、\(\angle AQB\) を求めよ。
解答
P と Q は同じ弧 AB に対する円周角だから、
自分でやってみる¶
解いたら「答えを確認」で確かめよう。
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まとめ¶
円周角と中心角のポイント
| 内容 | ポイント |
|---|---|
| 円周角の定理 | 円周角 \(=\) 中心角 \(\div\) 2 |
| 等しい円周角 | 同じ弧に対する円周角はすべて等しい |
| 半円の弧 | 直径に対する円周角 \(= 90°\) |
| 定理の逆 | \(\angle APB = \angle AQB\) \(\Rightarrow\) 4点は同一円周上 |
理解度チェック¶
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