相似の証明¶
相似の証明では、等しい角や等しい辺の比を2組見つけ、それぞれの根拠を書いてから、相似条件で結論を述べます。根拠には、共通な角・平行線の同位角や錯角・対頂角がよく使われます。
この単元でできるようになること¶
- 相似の証明の書き方（仮定・結論・根拠・相似条件）がわかる
- 共通な角・平行線の角・対頂角を根拠に使える
- 2組の角が等しいことから相似を証明できる
- 2組の辺の比とその間の角から相似を証明できる
前に習ったこと¶
始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。
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基本を理解する¶
証明の書き方の基本¶
相似の証明では、次の構造で書く。
証明の構造
- 仮定（与えられた条件を整理する）
- 結論（示したいことを明確にする）
- 証明（根拠を明示しながら筋道を立てる）
証明の最後は必ず「〇〇の相似条件より、\(\triangle \square\square \sim \triangle \triangle\triangle\)」で締める。
よく出るパターン¶
証明でよく使う等角の根拠をまとめる。
等角の根拠（よく使う3つ）
| 根拠 | 内容 |
|---|---|
| 共通角 | 2つの三角形に同じ角が含まれる |
| 平行線の同位角・錯角 | \(\ell \parallel m\) のとき同位角・錯角は等しい |
| 対頂角 | 2直線が交わるとき対頂角は等しい |
例題¶
例題１ 共通角＋平行線 → AA 相似¶
\(\triangle ABC\) で \(DE \parallel BC\)（D は辺 AB 上、E は辺 AC 上）のとき、\(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) を証明せよ。
証明
仮定： \(DE \parallel BC\)
結論： \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\)
証明：
\(\angle DAE\) は \(\triangle ADE\) と \(\triangle ABC\) に共通。\(\cdots\) ①
\(DE \parallel BC\) より、同位角が等しいので
①②より、2組の角がそれぞれ等しい（AA 相似）から
例題２ 対頂角＋平行線 → AA 相似¶
\(AB \parallel DC\) で、直線 AC と BD が点 O で交わるとき、\(\triangle OAB \sim \triangle OCD\) を証明せよ。
証明
仮定： \(AB \parallel DC\)
結論： \(\triangle OAB \sim \triangle OCD\)
証明：
\(AB \parallel DC\) より、錯角が等しいので
対頂角は等しいので
①②より、2組の角がそれぞれ等しい（AA 相似）から
例題３ 辺を共有する2つの三角形の相似証明（SAS 利用）¶
D は辺 AB の延長上、E は辺 AC の延長上の点で、\(AB=6\)、\(AC=4\)、\(AD=9\)、\(AE=6\) のとき、\(\triangle ABC \sim \triangle ADE\) を証明せよ。
証明
仮定： \(AB=6\)、\(AC=4\)、\(AD=9\)、\(AE=6\)
結論： \(\triangle ABC \sim \triangle ADE\)
証明：
辺の比を確認する。
よって
\(\angle BAC\) は \(\triangle ABC\) と \(\triangle ADE\) に共通。\(\cdots\) ②
①②より、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい（SAS 相似）から
自分でやってみる¶
解いたら「答えを確認」で確かめよう。
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まとめ¶
相似の証明でよく使う根拠
| 根拠 | 使う場面 |
|---|---|
| 共通角 | 2つの三角形が頂角を共有するとき |
| 平行線の同位角・錯角 | \(DE \parallel BC\) などの平行条件があるとき |
| 対頂角 | 2直線が1点で交わるとき |
証明の手順
- 等しい角（または辺の比）を2組見つける
- それぞれに番号をつけて根拠を明示する
- 相似条件（AA または SAS）を述べて結論を書く
理解度チェック¶
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