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  1. 数学
  2. 中学3年
  3. 関数
  4. 関数 y = ax²

LESSON 2 / 2

  1. Lesson 1：関数 y = ax²
  2. Lesson 2：関数 y = ax² のグラフの利用

関数 y = ax² のグラフの利用

グラフを使うと、関数 \(y = ax^2\) の性質が目で確かめられます。通る点・変域・変化の割合・2つのグラフの交点を、グラフと式の両方から求めましょう。

この単元でできるようになること

  • グラフが通る点から比例定数を求められる
  • グラフを使って変域を考えられる
  • 変化の割合を、グラフ上の2点を結ぶ直線のかたむきとしてとらえられる
  • 放物線と直線の交点を求め、図形の面積に使える

前に習ったこと

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する

グラフを読み取るときのポイント

\(y = ax^2\) のグラフを使う問題では、次の4つをいつも確かめよう。

  • 通る点：グラフが点 \((p,\ q)\) を通るなら、\(q = ap^2\) が成り立つ。これで \(a\) が求まる。
  • 変域と頂点：\(x\) の変域に \(x = 0\)（頂点）がふくまれるかどうかで、\(y\) の最大・最小が変わる。
  • 変化の割合：グラフ上の2点を結ぶ直線のかたむきが、変化の割合になる。
  • 交点：2つのグラフの交点の座標は、2つの式を連立させて求める。

動かして確かめる

\(y=ax^2\) のグラフを指やマウスで描き、正解と重ねてください。\(a\) を正・負に変えたり、\(0\) に近づけたりして、開く向きと広がりを観察しましょう。

例題

例題１：比例定数を求める

下のグラフは \(y = ax^2\) のグラフである。グラフが点 \((3,\ -18)\) を通るとき、\(a\) の値を求めよ。

点 (3, −18) を通る y = ax² のグラフ 下に開く放物線 y = ax² が、点 (3, −18) を通っている。 x y O −3 −2 1 2 3 −18 −12 −6 (3, −18)
解答

\(x = 3,\ y = -18\) を \(y = ax^2\) に代入する。

\[ -18 = a \times 3^2 = 9a \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]

例題２：変域を求める（頂点が範囲内）

\(y = 2x^2\) について、\(x\) の変域が \(-1 \leq x \leq 3\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。

y = 2x²（−1 ≦ x ≦ 3）のグラフ y = 2x² のグラフのうち、x が −1 から 3 までの部分（太線）。x = −1 で y = 2、x = 0 で y = 0、x = 3 で y = 18。 x y O −3 −2 1 2 3 4 18
解答

変域 \(-1 \leq x \leq 3\) に \(x = 0\) が含まれる。\(a = 2 > 0\) なので上に開き、最小値は頂点の \(y = 0\)。

  • \(x = -1\)：\(y = 2 \times 1 = 2\)
  • \(x = 0\)：\(y = 0\)（最小値）
  • \(x = 3\)：\(y = 2 \times 9 = 18\)（最大値）
\[ 0 \leq y \leq 18 \]

例題３：変域を求める（頂点が範囲外）

\(y = -x^2\) について、\(x\) の変域が \(1 \leq x \leq 4\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。

y = −x²（1 ≦ x ≦ 4）のグラフ y = −x² のグラフのうち、x が 1 から 4 までの部分（太線）。x = 1 で y = −1、x = 4 で y = −16。 x y O −3 −2 1 2 3 4 −16
解答

変域 \(1 \leq x \leq 4\) に \(x = 0\) は含まれない。\(a = -1 < 0\) で変域が正の部分のみなので、\(x\) が大きいほど \(y\) は小さい。

  • \(x = 1\)：\(y = -1\)（最大値）
  • \(x = 4\)：\(y = -16\)（最小値）
\[ -16 \leq y \leq -1 \]

例題４：変化の割合

\(y = 2x^2\) について、\(x\) が \(1\) から \(3\) まで変化するときの変化の割合を求めよ。 グラフ上の２点を結ぶ直線（割線）に注目しよう。

y = 2x² の、x = 1 から x = 3 までの変化 y = 2x² のグラフ上の2点 (1, 2) と (3, 18) を結ぶ直線。x の増加量は 2、y の増加量は 16。 x y O 1 2 3 2 18 x の増加量 2 y の増加量 16
解答
  • \(x = 1\) のとき \(y = 2 \times 1^2 = 2\)
  • \(x = 3\) のとき \(y = 2 \times 3^2 = 18\)
\[ \text{変化の割合} = \frac{18 - 2}{3 - 1} = \frac{16}{2} = 8 \]

例題５：２つのグラフの交点

\(y = x^2\) と \(y = -x^2 + 8\) のグラフの交点の座標を求めよ。

y = x² と y = −x² + 8 のグラフ 上に開く放物線 y = x² と、下に開く放物線 y = −x² + 8 が、2点で交わっている。 x y O −3 −2 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 y = x² y = −x² + 8
解答

交点では \(x^2 = -x^2 + 8\) が成り立つ。

\[ 2x^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \]
  • \(x = 2\) のとき \(y = 4\)
  • \(x = -2\) のとき \(y = 4\)

答え：\((2,\ 4)\) と \((-2,\ 4)\)

自分でやってみる

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

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まとめ

グラフを使う問題のポイント

  • 通る点の座標を \(y = ax^2\) に代入すると、\(a\) が求まる
  • 変域の問題では、まず \(x = 0\)（頂点）がふくまれるかを確かめる
  • 変化の割合は、グラフ上の2点を結ぶ直線のかたむき
  • 2つのグラフの交点は、式を連立させて求める

理解度チェック

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