確率の求め方¶

どの場合も同じ程度に起こると考えられるとき、確率は「あることがらが起こる場合の数 ÷ 起こりうるすべての場合の数」で求められます。もれや重なりなく数えるために、樹形図や表を使います。

この単元でできるようになること¶

確率の意味と求め方を説明できる
樹形図や表を使って、場合の数をもれなく数えられる
さいころ2個・コイン・くじ・玉の確率を求められる
「少なくとも」の確率を、起こらない確率を使って求められる

前に習ったこと¶

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する¶

確率とは¶

確率は「あることがどれくらい起こりやすいか」を数で表したものです。

確率の求め方

\[ \boxed{\text{確率} = \frac{\text{あてはまる場合の数}}{\text{起こりうるすべての場合の数}}} \]

ただし、どの場合も同様に確からしいことが必要です。

「同様に確からしい」とは¶

どの結果も同じくらい起こりやすいということです。

✅ ふつうのさいころ … \(1\)〜\(6\) はどれも同じくらい出る
✅ ふつうのコイン … 表と裏は同じくらい出る
❌ ゆがんださいころ … 特定の目が出やすい

よくある勘違い

「明日雨が降るか降らないかの2通りだから、確率は \(\dfrac{1}{2}\)」はまちがいです。雨と晴れは同様に確からしくありません。確率の公式が使えるのは、どれも同じくらい起こるときだけです。

確率のとりうる範囲¶

\[ 0 \leqq (\text{確率}) \leqq 1 \]

確率が \(0\) … 絶対に起こらない
確率が \(1\) … 必ず起こる

数え上げの道具¶

① 樹形図¶

順番に枝分かれさせて、もれなく数えます。コインやくじの問題で使います。

例コインを2回投げる

枝の先が全部で4通り。これが起こりうるすべての場合

全部で \(4\) 通りです。

② 表（2次元の表）¶

さいころ2個のように、2つのものを組み合わせるときに便利です。\(6 \times 6 = 36\) 通りを一覧にできます。

どちらを使うか

樹形図 … 順番に選ぶとき、3回以上のとき
表 … 2つのものを組み合わせるとき（さいころ2個など）

さいころ2個の問題¶

さいころ2個は \(6 \times 6 = 36\) 通り。これは覚えてしまいましょう。

例題1¶

大小2つのさいころを投げるとき、次の確率を求めなさい。

目の和が \(7\) になる確率
同じ目が出る確率
目の和が \(10\) 以上になる確率

解答

全部で \(36\) 通りです。

(1) 和が \(7\) になるのは \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\) の \(6\) 通り。

\[ \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

(2) 同じ目は \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\) の \(6\) 通り。

\[ \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

(3) 和が \(10\) 以上は \((4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)\) の \(6\) 通り。

\[ \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]

\((1,6)\) と \((6,1)\) は別のもの

大小2つのさいころは区別します。 \((1,6)\)「大が1、小が6」と \((6,1)\)「大が6、小が1」は別の場合です。ここを一緒にすると、場合の数が足りなくなります。

「少なくとも」の問題 — 余事象¶

「少なくとも1つは〜」という問題は、そうでない場合を数えるほうが速いことが多いです。

余事象

\[ \boxed{(\text{A が起こる確率}) = 1 - (\text{A が起こらない確率})} \]

例題2¶

大小2つのさいころを投げるとき、少なくとも1つは \(6\) が出る確率を求めなさい。

解答

そのまま数えると大変です。「\(6\) が1つも出ない」を数えます。

2つとも \(6\) 以外（\(1\)〜\(5\) の5通り）なので

\[ 5 \times 5 = 25 \text{ 通り} \]

\(6\) が1つも出ない確率は \(\dfrac{25}{36}\)。よって

\[ 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \]

確かめ 直接数えると、6が出るのは「大が6」6通り＋「小が6」6通り−「両方6」1通り \(= 11\) 通り。合っています。

コインの問題¶

コイン \(n\) 枚を投げると \(2^n\) 通りです。

枚数	場合の数
\(1\) 枚	\(2\) 通り
\(2\) 枚	\(4\) 通り
\(3\) 枚	\(8\) 通り
\(4\) 枚	\(16\) 通り

例題3¶

コインを3枚投げるとき、次の確率を求めなさい。

3枚とも表が出る確率
表がちょうど1枚出る確率

解答

全部で \(2^3 = 8\) 通り。書き出すと（表表表）（表表裏）（表裏表）（表裏裏）（裏表表）（裏表裏）（裏裏表）（裏裏裏）

(1) 3枚とも表は \(1\) 通り。

\[ \frac{1}{8} \]

(2) 表がちょうど1枚は（表裏裏）（裏表裏）（裏裏表）の \(3\) 通り。

\[ \frac{3}{8} \]

くじ・玉を取り出す問題¶

同じ色でも1つずつ区別する

赤玉2個、白玉1個が入っている袋でも、赤玉は赤1、赤2と区別して数えます。区別しないと「同様に確からしい」が成り立たなくなります。

例題4¶

赤玉 \(2\) 個、白玉 \(3\) 個が入った袋から、玉を \(1\) 個取り出すとき、赤玉が出る確率を求めなさい。

解答

玉は全部で \(5\) 個、どれも同じように取り出されます。

\[ \frac{2}{5} \]

例題5¶

赤玉 \(2\) 個、白玉 \(2\) 個の袋から、続けて2個取り出します（もどさない）。2個とも赤玉である確率を求めなさい。

解答

赤を \(\text{赤}_1,\text{赤}_2\)、白を \(\text{白}_1,\text{白}_2\) と区別します。

1個目は \(4\) 通り、2個目は残りの \(3\) 通りなので

\[ 4 \times 3 = 12 \text{ 通り} \]

2個とも赤になるのは \((\text{赤}_1,\text{赤}_2)\) と \((\text{赤}_2,\text{赤}_1)\) の \(2\) 通り。

\[ \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]

動かして確かめる¶

さいころ2個の \(36\) 通りを表にして、条件にあてはまるマスに色をつけます。「実験してみる」では、実際にふった割合が理論の確率へ近づくようすを見られます。

自分でやってみる¶

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

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まとめ¶

確率 \(= \dfrac{\text{あてはまる場合}}{\text{すべての場合}}\)（同様に確からしいとき）
\(0 \leqq\) 確率 \(\leqq 1\)
さいころ2個は \(36\) 通り、コイン \(n\) 枚は \(2^n\) 通り
\((1,6)\) と \((6,1)\) は別の場合。同じ色の玉も区別する
「少なくとも」は余事象（\(1 -\) そうでない確率）が速い
数えるときは樹形図か表でもれなく

理解度チェック¶

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