三角形と四角形の性質¶

二等辺三角形の底角、直角三角形の合同条件、平行四辺形の性質と平行四辺形になる条件を学びます。どれも、合同な三角形を使って証明できる性質です。

この単元でできるようになること¶

• 二等辺三角形の性質を使って角を求められる
• 直角三角形の合同条件を言える
• 平行四辺形の性質と、平行四辺形になるための条件を言える
• 長方形・ひし形・正方形と平行四辺形の関係を説明できる
• 底辺が共通な三角形の面積の関係を使える

前に習ったこと¶

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

基本を理解する¶

二等辺三角形¶

2つの辺が等しい三角形です。等しい2辺にはさまれた角を頂角、残りの2角を底角といいます。

性質1の証明（底角が等しい）¶

頂角 A の二等分線を引き、底辺 BC との交点を D とします。

\(\triangle ABD\) と \(\triangle ACD\) において

• ① \(AB = AC\) …（仮定）
• ② \(\angle BAD = \angle CAD\) …（AD は \(\angle A\) の二等分線）
• ③ \(AD = AD\) …（共通な辺）

①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので \(\triangle ABD \equiv \triangle ACD\)。

合同な図形の対応する角は等しいので \(\angle B = \angle C\)。

二等辺三角形になる条件（逆）¶

角から辺を導けるので、証明でよく使います。

正三角形¶

3辺が等しい三角形です。3つの角はすべて \(60°\) になります。

直角三角形の合同条件¶

直角三角形には、ふつうの合同条件に加えて2つ使えます。

平行四辺形¶

2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形です。これが定義です。

性質1の証明（向かい合う辺が等しい）¶

対角線 AC を引きます。

\(\triangle ABC\) と \(\triangle CDA\) において

• ① \(\angle BAC = \angle DCA\) …（\(AB \parallel DC\) で錯角）
• ② \(\angle ACB = \angle CAD\) …（\(AD \parallel BC\) で錯角）
• ③ \(AC = CA\) …（共通な辺）

①②③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので \(\triangle ABC \equiv \triangle CDA\)。

対応する辺は等しいので \(AB = CD\)、\(BC = DA\)。

平行四辺形になる条件¶

5つあります。証明でどれを使うか選べるようにしておきましょう。

特別な平行四辺形¶

平行四辺形に条件を追加すると、長方形・ひし形・正方形になります。

面積が等しい三角形¶

底辺と高さが変わらないので、面積 \(= \dfrac{1}{2} \times\) 底辺 \(\times\) 高さ も変わりません。

この性質は「面積を変えずに図形を変形する」問題で使います。

例題¶

例題1¶

平行四辺形 ABCD で、\(\angle A = 70°\) のとき、\(\angle B\)、\(\angle C\)、\(\angle D\) を求めなさい。

例題2¶

平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とする。 O を通る直線が辺 AB、DC と交わる点をそれぞれ P、Q とするとき、\(OP = OQ\) を証明しなさい。

自分でやってみる¶

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

まとめ¶

• 二等辺三角形：底角が等しい。逆に2角が等しければ二等辺三角形
• 直角三角形の合同条件には、必ず斜辺が入る
• 平行四辺形の性質3つ（辺・角・対角線）と、なる条件5つ
• 条件5「1組が平行かつ等しい」が最もよく使う
• 長方形は対角線の長さが等しく、ひし形は対角線が垂直
• 平行線の間では、底辺が同じ三角形の面積は等しい

理解度チェック¶