一次関数とグラフ¶
一次関数のグラフは、切片を通り、傾きの分だけかたむいた直線です。2直線の交点は、2つの式を連立方程式として解くと求められます。
この単元でできるようになること¶
- 傾きと切片を使って一次関数のグラフをかける
- 直線と \(x\) 軸・\(y\) 軸の交点を求められる
- 2直線の交点を、連立方程式を解いて求められる
- 二元一次方程式 \(ax + by = c\) のグラフを、\(y =\) の形に直してかける
前に習ったこと¶
始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。
問題を読み込んでいます…
基本を理解する¶
グラフのかき方¶
\(y = ax + b\) のグラフは直線なので、2点決まればかけます。
いちばん速いかき方
- \(y\) 軸上に \((0,\ b)\) を打つ
- そこから右へ \(1\)、上へ \(a\) 進んだ点を打つ
- 2点を結んで、両端まで伸ばす
例1：\(y = 2x - 3\)¶
- 切片は \(-3\) なので \((0,\ -3)\) を打つ
- 右へ \(1\)、上へ \(2\) 進んで \((1,\ -1)\) を打つ
- 結ぶ
例2：\(y = -\dfrac{2}{3}x + 2\)¶
傾きが分数のときは、分母だけ右へ、分子だけ上下へ進むと格子点に乗ります。
- \((0,\ 2)\) を打つ
- 右へ \(3\)、下へ \(2\) 進んで \((3,\ 0)\) を打つ
- 結ぶ
小数に直さない
\(-\dfrac{2}{3}\) を \(-0.67\) にすると、方眼のどこを通るか分からなくなります。 分数のまま「右へ3、下へ2」と読むのがコツです。
切片と \(x\) 軸との交点¶
| 交点 | 求め方 |
|---|---|
| \(y\) 軸との交点 | \(x = 0\) を代入 → \((0,\ b)\) |
| \(x\) 軸との交点 | \(y = 0\) を代入して \(x\) を解く |
例 \(y = 2x - 6\) の \(x\) 軸との交点。
よって \((3,\ 0)\) で交わります。
2直線の交点¶
2直線の交点の座標は、2つの式を連立方程式として解いた答えです。
ここが、連立方程式とグラフのつながる大事なところです。
例題¶
\(y = 2x + 1\) と \(y = -x + 7\) の交点の座標を求めなさい。
解答
どちらも \(y\) なので、右辺どうしを等しいとおきます。
\(x = 2\) を \(y = 2x + 1\) に代入して
交点は \(\boxed{(2,\ 5)}\)
確かめ もう一方の式でも： \(y = -2 + 7 = 5\) ✓
連立方程式とグラフの関係¶
3つの場合
| グラフ | 連立方程式の解 |
|---|---|
| 1点で交わる | 解が1組 |
| 平行（交わらない） | 解なし |
| 完全に重なる | 解が無数にある |
傾きが違えば必ず1点で交わります。傾きが同じときだけ、平行か重なるかになります。
方程式のグラフ¶
\(ax + by = c\) の形の方程式も、直線のグラフになります。$y = $ の形に直すのが基本です。
例 \(2x + 3y = 6\)
\(x = k\)、\(y = k\) の形¶
| 式 | グラフ |
|---|---|
| \(y = 3\) | \(x\) 軸に平行な横線 |
| \(x = 2\) | \(y\) 軸に平行な縦線 |
\(x = 2\) は一次関数ではない
\(x = 2\) は縦線なので、\(x\) を1つ決めても \(y\) が1つに決まりません。 グラフは直線ですが、関数ではないので注意してください。
動かして確かめる¶
4つの点を動かして2本の直線を作ると、交点がその場で計算されます。 2直線を平行にすると交点が消えることも確かめてください。連立方程式に解がない場合にあたります。
自分でやってみる¶
解いたら「答えを確認」で確かめよう。
問題を読み込んでいます…
まとめ¶
- グラフは \((0,\ b)\) から「右へ \(1\)、上へ \(a\)」でかく
- 傾きが分数なら「右へ分母、上へ分子」
- 2直線の交点 ＝ 連立方程式の解
- 平行（傾きが同じ）なら交点なし＝解なし
- \(ax + by = c\) は \(y =\) の形に直す
次は 一次関数の利用 で、文章題に取り組みます。
理解度チェック¶
問題を読み込んでいます…
次に進もう
このページの目標に全部チェックがついたら、次へ進もう。