コンテンツにスキップ
  1. 数学
  2. 中学1年
  3. 図形
  4. 空間図形

LESSON 4 / 4

  1. Lesson 1：直線や平面の位置関係
  2. Lesson 2：おうぎ形の弧の長さと面積
  3. Lesson 3：角柱・円柱の体積と表面積
  4. Lesson 4：角錐・円錐の体積と表面積

角錐・円錐の体積と表面積

角錐・円錐の体積は、底面積と高さが同じ柱の \(\dfrac{1}{3}\) です。円錐の側面は展開するとおうぎ形になるので、おうぎ形の面積として側面積を求めます。

この単元でできるようになること

  • 角錐・円錐の頂点・底面・側面・高さ・母線を説明できる
  • 角錐・円錐の展開図を読める
  • 角錐・円錐の体積を \(\dfrac{1}{3} \times\) 底面積 \(\times\) 高さで求められる
  • 円錐の側面積・表面積を求められる
  • 円錐の展開図のおうぎ形の中心角を求められる

前に習ったこと

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する

角錐・円錐とは

角錐（かくすい）とは

1つの多角形の面（底面）と、1つの頂点（頂点）をもち、側面がすべて三角形になっている立体。

  • 底面の形によって「三角錐」「四角錐」「五角錐」などと呼ぶ
  • 底面が正三角形・正方形などの正多角形で、頂点が底面の真上にある → 正三角錐・正四角錐

円錐（えんすい）とは

1つの円の面（底面）と、1つの頂点をもち、側面が曲面になっている立体。

  • 頂点から底面の円周上の任意の点まで引いた線分を 母線（ぼせん） という
  • 円錐の母線の長さは、すべて等しい

各部の名称

角錐（四角錐）の各部分 底面は四角形、側面は三角形。頂点から底面に垂直に下ろした線分の長さが高さ h。 頂点 高さ h 底面 側面
円錐の各部分 底面は半径 r の円、側面は曲面。頂点から底面の中心までの高さ h、頂点から底面の円周までの線分が母線 ℓ。 頂点 高さ h 半径 r 母線 ℓ 底面
部分 説明
底面（ていめん） 下にある面（角錐：多角形、円錐：円）
頂点（ちょうてん） 上にある1つの点
側面（そくめん） 底面と頂点をつなぐ面（角錐：三角形、円錐：曲面）
高さ（h） 頂点から底面に下ろした垂線の長さ
母線（l） 円錐の頂点から底面の円周上の点までの線分

展開図

四角錐の展開図

四角錐の展開図 正方形の底面のまわりに、合同な二等辺三角形の側面4枚がついた展開図。 底面 側面 側面 側面 側面

四角錐の展開図の構成

  • 底面：正方形（または長方形）× 1枚
  • 側面：三角形 × 4枚

円錐の展開図

円錐を展開すると、側面は扇形になる。

円錐の展開図 側面は、半径が母線 ℓ のおうぎ形。おうぎ形の弧の長さは、底面の円周 2πr と等しい。底面は半径 r の円。 母線 ℓ 側面（おうぎ形） 弧の長さ = 2πr r 底面

円錐の展開図の構成

  • 底面：円 × 1枚（半径 \(r\)）
  • 側面：扇形 × 1枚（半径 = 母線 \(l\)、弧の長さ = \(2\pi r\)）

重要：側面の扇形の半径は「母線 l」

展開図の扇形の半径は 底面の半径 \(r\) ではなく、母線 \(l\) である。混同しないように注意！

体積の公式

柱と錐の関係

同じ底面積・高さの角錐の体積は、角柱の体積の \(\dfrac{1}{3}\) になる。

\[\text{角柱の体積} = S \times h \quad \longrightarrow \quad \text{角錐の体積} = \frac{1}{3} \times S \times h\]

錐体の体積公式

\[\boxed{V = \frac{1}{3} \times S \times h}\]
  • \(S\)：底面積
  • \(h\)：高さ

角錐・円錐どちらも同じ公式（\(\dfrac{1}{3}\) を掛けることを忘れずに！）

円錐の底面積

円錐の底面は円なので：

\[S = \pi r^2\]

よって円錐の体積は：

\[V = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

表面積の公式

円錐の側面積

展開したときの扇形の面積が側面積になる。

扇形の面積の公式（扇形と弧の長さと面積で学習）：

\[\text{扇形の面積} = \frac{1}{2} \times \text{弧の長さ} \times \text{半径}\]

円錐の場合、扇形の半径 \(=\) 母線 \(l\)、弧の長さ \(=\) 底面の円周 \(= 2\pi r\) なので：

\[\text{側面積} = \frac{1}{2} \times 2\pi r \times l = \pi r l\]

円錐の表面積の公式

\[\boxed{\text{表面積} = \pi r^2 + \pi r l}\]
  • \(r\)：底面の半径
  • \(l\)：母線の長さ
  • \(\pi r^2\)：底面積（1枚）
  • \(\pi r l\)：側面積（扇形）

覚え方

\(\pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)\) とまとめることもできる。

動かして確かめる

円錐の側面がおうぎ形になる理由は、開くところを見るのがいちばんです。 スライダーを動かして、立体と展開図を行き来してください。

例題

例題１　四角錐の体積

底面が \(1\) 辺 \(6\) cm の正方形で、高さが \(8\) cm の正四角錐の体積を求めよ。

底面が1辺 6cm の正方形、高さ 8cm の正四角錐 底面は1辺 6cm の正方形、頂点から底面に下ろした高さは 8cm。 8 cm 6 cm
解答

底面積 \(S = 6 \times 6 = 36\) (cm²)

\[V = \frac{1}{3} \times 36 \times 8 = \frac{288}{3} = 96 \text{ (cm³)}\]

例題２　三角錐の体積

底面が底辺 \(4\) cm、高さ \(3\) cm の直角三角形で、三角錐の高さが \(6\) cm のとき、体積を求めよ。

解答

底面積（直角三角形）\(S = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\) (cm²)

\[V = \frac{1}{3} \times 6 \times 6 = \frac{36}{3} = 12 \text{ (cm³)}\]

例題３　円錐の体積と表面積

底面の半径 \(3\) cm、高さ \(4\) cm、母線 \(5\) cm の円錐の体積と表面積を求めよ。

底面の半径 3cm、高さ 4cm、母線 5cm の円錐 底面の半径 3cm、高さ 4cm、母線 5cm の円錐。 4 cm 3 cm 5 cm
解答

体積：

\(V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = \dfrac{1}{3} \times 9\pi \times 4 = 12\pi\) (cm³)

表面積：

底面積 \(= \pi \times 3^2 = 9\pi\) cm²

側面積 \(= \pi \times 3 \times 5 = 15\pi\) cm²

表面積 \(= 9\pi + 15\pi = 24\pi\) (cm²)

例題４　円錐の側面積の中心角

半径 \(2\) cm、母線 \(6\) cm の円錐がある。展開図の側面（扇形）の中心角を求めよ。

解答

扇形の弧の長さ \(=\) 底面の円周 \(= 2\pi \times 2 = 4\pi\) cm

扇形の半径（母線）\(l = 6\) cm なので：

\[\text{中心角} = \frac{\text{弧の長さ}}{2\pi l} \times 360 = \frac{4\pi}{2\pi \times 6} \times 360 = \frac{4\pi}{12\pi} \times 360 = \frac{1}{3} \times 360 = 120 \text{（度）}\]

答え：120°

自分でやってみる

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

問題を読み込んでいます…

まとめ

体積の公式

\[V = \frac{1}{3} \times S \times h \quad \text{（底面積 × 高さ × } \frac{1}{3} \text{）}\]
立体 底面積 S
四角錐（縦 \(a\)、横 \(b\)） \(S = ab\)
三角錐（底辺 \(a\)、高さ \(b\)） \(S = \dfrac{1}{2}ab\)
円錐（半径 \(r\)） \(S = \pi r^2\)

表面積の公式

角錐： $\(\text{表面積} = \text{底面積} + \text{側面（三角形）の合計面積}\)$

円錐： $\(\text{表面積} = \pi r^2 + \pi r l\)$

（\(r\)：底面の半径、\(l\)：母線の長さ）

計算のコツ

  1. 角錐・円錐の体積は柱の \(\dfrac{1}{3}\)（必ず \(\dfrac{1}{3}\) を掛ける）
  2. 円錐の側面積は \(\pi r l\)（母線 \(l\) を使う）
  3. 展開図の扇形の半径 = 母線 \(l\)（底面の半径 \(r\) ではない）

理解度チェック

問題を読み込んでいます…

次に進もう

このページの目標に全部チェックがついたら、次へ進もう。

空間図形の単元ページ →