おうぎ形の弧の長さと面積¶

おうぎ形は円の一部です。中心角が円全体（\(360°\)）のどれだけかを考えると、弧の長さも面積も円の公式から求められます。

この単元でできるようになること¶

おうぎ形の半径・中心角・弧を説明できる
おうぎ形の弧の長さを求められる
おうぎ形の面積を求められる
弧の長さや面積から、中心角や半径を求められる
答えを \(\pi\) を使って表せる

前に習ったこと¶

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する¶

扇形とは¶

扇形（おうぎがた） とは、円の中心から2本の半径を引き、その間の弧（円周の一部）で囲まれた図形のこと。

用語	説明
半径（r）	中心 O から円周までの距離
中心角（a°）	2 本の半径がつくる角度
弧（arc）	扇形の曲線部分（円周の一部）

円の復習¶

扇形は円の一部なので、まず円の公式を確認する。

円の公式

半径 \(r\) の円について：

\[\text{円周の長さ} = 2\pi r\]

\[\text{円の面積} = \pi r^2\]

円周率は π を使う

中学数学では円周率を \(\pi\)（パイ） で表す。

小学校では \(3.14\) を使ったが、中学以降は \(\pi\) のまま答えるのが基本。
\(\pi \approx 3.14159\cdots\) だが、答えに代入せず「\(6\pi\)」「\(9\pi\) cm²」のように書く。

扇形の弧の長さ¶

考え方¶

扇形の弧は円周の一部。中心角が大きいほど弧も長くなる。

中心角 \(a°\) の扇形は、円全体（\(360°\)）の \(\dfrac{a}{360}\) の部分。

公式¶

\[\boxed{\text{弧の長さ} = 2\pi r \times \frac{a}{360}}\]

\(r\)：半径
\(a\)：中心角（度数）

公式の覚え方

円周の長さ \(2\pi r\) に、円全体に対する割合 \(\dfrac{a}{360}\) をかけるだけ。

扇形の面積¶

考え方¶

扇形の面積も円の面積の一部。中心角の割合でかける。

\[\text{面積} = \pi r^2 \times \frac{a}{360}\]

公式¶

\[\boxed{\text{扇形の面積} = \pi r^2 \times \frac{a}{360}}\]

2 つの公式をまとめて確認¶

扇形の公式まとめ

半径 \(r\)、中心角 \(a°\) の扇形について：

\[\text{弧の長さ} \ell = 2\pi r \times \frac{a}{360}\]

\[\text{面積} S = \pi r^2 \times \frac{a}{360}\]

覚え方： どちらも「円の公式 × \(\dfrac{a}{360}\)」

弧の長さから面積を求める

2つの公式をくらべると、扇形の面積は \(S = \dfrac{1}{2} \ell r\)（弧の長さ × 半径 ÷ 2）とも表せる。

\[S = \pi r^2 \times \frac{a}{360} = \frac{1}{2} \times \left(2\pi r \times \frac{a}{360}\right) \times r = \frac{1}{2} \ell r\]

中心角がわからなくても、弧の長さと半径から面積が求められる。

中心角・弧の長さ・面積の関係図¶

よく使う中心角の割合¶

中心角	割合（\(\dfrac{a}{360}\)）	弧の長さ	面積
\(30°\)	\(\dfrac{1}{12}\)	\(\dfrac{\pi r}{6}\)	\(\dfrac{\pi r^2}{12}\)
\(45°\)	\(\dfrac{1}{8}\)	\(\dfrac{\pi r}{4}\)	\(\dfrac{\pi r^2}{8}\)
\(60°\)	\(\dfrac{1}{6}\)	\(\dfrac{\pi r}{3}\)	\(\dfrac{\pi r^2}{6}\)
\(90°\)	\(\dfrac{1}{4}\)	\(\dfrac{\pi r}{2}\)	\(\dfrac{\pi r^2}{4}\)
\(120°\)	\(\dfrac{1}{3}\)	\(\dfrac{2\pi r}{3}\)	\(\dfrac{\pi r^2}{3}\)
\(180°\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\pi r\)	\(\dfrac{\pi r^2}{2}\)
\(360°\)	\(1\)	\(2\pi r\)	\(\pi r^2\)

例題¶

例題１　弧の長さを求める¶

半径 \(6\) cm、中心角 \(120°\) の扇形の弧の長さを求めよ。

解答

\[\ell = 2\pi \times 6 \times \frac{120}{360}\]

\[= 12\pi \times \frac{1}{3}\]

\[= 4\pi \text{ (cm)}\]

例題２　面積を求める¶

半径 \(6\) cm、中心角 \(120°\) の扇形の面積を求めよ。

解答

\[S = \pi \times 6^2 \times \frac{120}{360}\]

\[= 36\pi \times \frac{1}{3}\]

\[= 12\pi \text{ (cm}^2\text{)}\]

図で確かめる（例題１・２）

例題３　中心角を求める¶

半径 \(9\) cm、弧の長さが \(6\pi\) cm の扇形の中心角を求めよ。

解答

公式 \(\ell = 2\pi r \times \dfrac{a}{360}\) に \(\ell = 6\pi\)、\(r = 9\) を代入する。

\[6\pi = 2\pi \times 9 \times \frac{a}{360}\]

\[6\pi = 18\pi \times \frac{a}{360}\]

両辺を \(18\pi\) で割る：

\[\frac{a}{360} = \frac{6\pi}{18\pi} = \frac{1}{3}\]

\[a = 360 \times \frac{1}{3} = 120\]

答え：中心角 \(120°\)

例題４　半径を求める¶

中心角 \(90°\)、面積が \(16\pi\) cm² の扇形の半径を求めよ。

解答

公式 \(S = \pi r^2 \times \dfrac{a}{360}\) に \(S = 16\pi\)、\(a = 90\) を代入する。

\[16\pi = \pi r^2 \times \frac{90}{360}\]

\[16\pi = \pi r^2 \times \frac{1}{4}\]

両辺を \(\pi\) で割る：

\[16 = r^2 \times \frac{1}{4}\]

\[r^2 = 64\]

\[r = 8 \text{ (cm)}\]

答え：半径 \(8\) cm

自分でやってみる¶

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

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まとめ¶

扇形の公式

半径 \(r\)、中心角 \(a°\) の扇形：

\[\text{弧の長さ} = 2\pi r \times \frac{a}{360}\]

\[\text{面積} = \pi r^2 \times \frac{a}{360}\]

計算のコツ

まず \(\dfrac{a}{360}\) を約分して簡単な分数にする
次に \(2\pi r\) や \(\pi r^2\) をかける
答えは \(\pi\) をつけたまま書く（例：\(6\pi\) cm、\(12\pi\) cm²）

π を数値にしない

答えを \(3.14\) で計算してはいけない。

正しい答え方：\(4\pi\) cm、\(12\pi\) cm²
誤った答え方：\(12.56\) cm、\(37.68\) cm²（π ≒ 3.14 を代入した場合）

理解度チェック¶

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この単元でできるようになること¶

前に習ったこと¶

基本を理解する¶

扇形とは¶

円の復習¶

扇形の弧の長さ¶

考え方¶

公式¶

扇形の面積¶

考え方¶

公式¶

2 つの公式をまとめて確認¶

中心角・弧の長さ・面積の関係図¶

よく使う中心角の割合¶

例題¶

例題１ 弧の長さを求める¶

例題２ 面積を求める¶

例題３ 中心角を求める¶

例題４ 半径を求める¶

自分でやってみる¶

まとめ¶

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例題２　面積を求める¶

例題３　中心角を求める¶

例題４　半径を求める¶