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  1. 数学
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  4. 比例と反比例

LESSON 3 / 3

  1. Lesson 1：比例・反比例とその式
  2. Lesson 2：座標・比例のグラフ
  3. Lesson 3：反比例のグラフ

反比例のグラフ

反比例 \(y = \dfrac{a}{x}\) のグラフは、原点について対称な2本のなめらかな曲線（双曲線）になります。比例のグラフとのちがいに注目しましょう。

この単元でできるようになること

  • 反比例のグラフが双曲線になることを説明できる
  • 表を作って反比例のグラフをかける
  • 比例定数 \(a\) の符号とグラフの位置（象限）の関係を説明できる
  • グラフから反比例の式を求められる
  • 変域があるときの \(y\) の変域を求められる

前に習ったこと

始める前に、次の問題が解けるか確かめよう。

問題を読み込んでいます…

基本を理解する

まず、曲線を予想して描こう

\(y=\dfrac{6}{x}\) の形を予想し、2つの曲線を指やマウスで描いてから正解と重ねてください。係数 \(a\) を動かすと、曲線の向きや広がりがどう変わるでしょうか。

反比例のグラフはどんな形？

比例のグラフは「原点を通る直線」だった。では反比例 \(y = \dfrac{a}{x}\) のグラフはどんな形になるだろうか。

まず表を作って、実際に点を打ってみよう。

\(y = \dfrac{6}{x}\) のグラフを書く手順

STEP 1：表を作る

\(y = \dfrac{6}{x}\) に \(x\) の値を代入して \(y\) を求める。

\(x = 0\) は代入できない

反比例では \(x = 0\) のとき \(y = \dfrac{6}{0}\) となり、計算できない。

\(x = 0\) は定義されない（グラフに点が存在しない）。

\(x\) が正のとき：

\(x\) \(1\) \(2\) \(3\) \(6\) \(\dfrac{1}{2}\)
\(y\) \(6\) \(3\) \(2\) \(1\) \(12\)

\(x\) が負のとき：

\(x\) \(-1\) \(-2\) \(-3\) \(-6\)
\(y\) \(-6\) \(-3\) \(-2\) \(-1\)

STEP 2：点を座標平面上に打つ

求めた点をすべて座標平面に打つ。

y = 6/x の表の点を打った図 x = ±1, ±2, ±3, ±6 のときの点。x > 0 の点は第1象限、x < 0 の点は第3象限にある。 x y O −4 −2 2 4 −4 −2 2 4

点が2つのグループ（\(x > 0\) と \(x < 0\)）に分かれている。

STEP 3：点を滑らかな曲線で結ぶ

同じグループの点どうしをなめらかな曲線で結ぶ。

直線で結ばない！

反比例のグラフは曲線（双曲線）になる。定規で直線を引いてはいけない。

また、\(x > 0\) の点と \(x < 0\) の点をつなげてはいけない（\(x = 0\) を通らないため）。

y = 6/x のグラフ 第1象限と第3象限にある2本のなめらかな曲線（双曲線）。点 (1, 6)、(2, 3)、(3, 2)、(6, 1) などを通る。 x y O −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 y = 6/x

反比例グラフの形（双曲線）

反比例 \(y = \dfrac{a}{x}\) のグラフは双曲線と呼ばれる2本の曲線になる。

  • 2本の曲線は絶対につながらない（\(x = 0\) が存在しないため）
  • 曲線は \(x\) 軸・\(y\) 軸に限りなく近づくが、交わらない（軸は漸近線）

比例定数 \(a\) の符号による違い

\(a > 0\)（正）のとき → 第1・第3象限

a > 0 の反比例のグラフ y = 6/x と y = 2/x のグラフ。どちらも第1象限と第3象限にある。 x y O −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 y = 6/x y = 2/x

\(a < 0\)（負）のとき → 第2・第4象限

a < 0 の反比例のグラフ y = −6/x と y = −2/x のグラフ。どちらも第2象限と第4象限にある。 x y O −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 y = −6/x y = −2/x

反比例グラフのまとめ

比例定数 \(a\) グラフのある象限 \(x > 0\) のとき \(y\) は
\(a > 0\)（正） 第１・第３象限 \(x\) が増えると \(y\) が減る
\(a < 0\)（負） 第２・第４象限 \(x\) が増えると \(y\) が増える

\(\lvert a \rvert\) の大小と曲線の形

\(a\) の絶対値が大きいほど、曲線は原点から遠く（広がった形）になる。

a の絶対値と反比例のグラフ y = 12/x、y = 6/x、y = 2/x のグラフ。a の絶対値が大きいほど、曲線は原点から遠くなる。 x y O −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 y = 12/x y = 6/x y = 2/x

変域のある反比例グラフ

変域が指定されているとき、グラフは曲線の一部分になる。端点の処理（●か○か）も確認しよう。

\(y = \dfrac{6}{x}\)（\(1 \leq x \leq 6\)）のグラフ

端点の座標を求める：

  • \(x = 1\) のとき：\(y = \dfrac{6}{1} = 6\)　→　点 \((1, 6)\)
  • \(x = 6\) のとき：\(y = \dfrac{6}{6} = 1\)　→　点 \((6, 1)\)
y = 6/x（1 ≦ x ≦ 6）のグラフ y = 6/x のグラフのうち、点 (1, 6) から点 (6, 1) までの部分。 x y O 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (1, 6) (6, 1)

\(y\) の変域も求められる

\(x = 1\) で \(y = 6\)（最大値）、\(x = 6\) で \(y = 1\)（最小値）

\[1 \leq y \leq 6\]

\(a > 0\) のとき \(x\) が増えると \(y\) が減るので、\(x\) の最大で \(y\) は最小になる点に注意。

グラフから式を読み取る

グラフが通る点を1つ読み取り、\(y = \dfrac{a}{x}\) に代入して \(a\) を求める。

グラフから反比例の式を読み取る 反比例のグラフが点 (2, −4) を通る。y = a/x に代入すると a = −8。 x y O −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 y = −8/x (2, −4)

比例グラフと反比例グラフの違い

比例のグラフと反比例のグラフ 原点を通る直線 y = x（比例）と、2本の曲線 y = 6/x（反比例）。 x y O −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 y = x（比例） y = 6/x（反比例）
比例 \(y = ax\) 反比例 \(y = \dfrac{a}{x}\)
グラフの形 直線 曲線（双曲線）
原点 必ず通る 通らない
本数 1本 2本
\(x = 0\) \(y = 0\) 定義されない
象限 \(a > 0\)：1・3　\(a < 0\)：2・4 \(a > 0\)：1・3　\(a < 0\)：2・4

例題

例題１　グラフを書く（\(a > 0\)）

\(y = \dfrac{12}{x}\) のグラフを書け。

解答

STEP 1：表を作る

\(x\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(6\) \(12\) \(-1\) \(-2\) \(-3\) \(-4\) \(-6\) \(-12\)
\(y\) \(12\) \(6\) \(4\) \(3\) \(2\) \(1\) \(-12\) \(-6\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(-1\)

STEP 2・3：点を打ってなめらかな曲線で結ぶ

y = 12/x のグラフ 第1象限と第3象限にある2本の曲線 y = 12/x。 x y O −6 −4 −2 2 4 6 −12 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12 y = 12/x

第１・第３象限に2本の曲線。

例題２　グラフを書く（\(a < 0\)）

\(y = -\dfrac{4}{x}\) のグラフを書け。

解答

STEP 1：表を作る

\(x\) \(1\) \(2\) \(4\) \(-1\) \(-2\) \(-4\)
\(y\) \(-4\) \(-2\) \(-1\) \(4\) \(2\) \(1\)

STEP 2・3：点を打ってなめらかな曲線で結ぶ

y = −4/x のグラフ 第2象限と第4象限にある2本の曲線 y = −4/x。 x y O −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 y = −4/x

\(a < 0\) なので第２・第４象限に2本の曲線。

例題３　グラフから式を求める

反比例のグラフが点 \((3, -4)\) を通っているとき、\(y\) を \(x\) の式で表せ。

解答

\(y = \dfrac{a}{x}\) に \(x = 3,\ y = -4\) を代入：

\[-4 = \frac{a}{3}\]
\[a = -4 \times 3 = -12\]
\[\boxed{y = \frac{-12}{x}}\]

例題４　変域のあるグラフ

\(y = \dfrac{8}{x}\)（\(2 \leq x \leq 8\)）のグラフを書き、\(y\) の変域を求めよ。

解答

端点の座標：

  • \(x = 2\)：\(y = \dfrac{8}{2} = 4\)　→　\((2, 4)\)
  • \(x = 8\)：\(y = \dfrac{8}{8} = 1\)　→　\((8, 1)\)

y = 8/x（2 ≦ x ≦ 8）のグラフ y = 8/x のグラフのうち、点 (2, 4) から点 (8, 1) までの部分。 x y O 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 (2, 4) (8, 1)

\(y\) の変域：\(x = 2\) で \(y = 4\)（最大）、\(x = 8\) で \(y = 1\)（最小）

\[\boxed{1 \leq y \leq 4}\]

例題５　\(x\)・\(y\) の変域の関係

\(y = \dfrac{-6}{x}\)（\(-6 \leq x \leq -2\)）のグラフを書き、\(y\) の変域を求めよ。

解答

端点の座標：

  • \(x = -6\)：\(y = \dfrac{-6}{-6} = 1\)　→　\((-6, 1)\)
  • \(x = -2\)：\(y = \dfrac{-6}{-2} = 3\)　→　\((-2, 3)\)

y = −6/x（−6 ≦ x ≦ −2）のグラフ y = −6/x のグラフのうち、点 (−6, 1) から点 (−2, 3) までの部分。 x y O −6 −5 −4 −3 −2 1 2 3 (−6, 1) (−2, 3)

\(y\) の変域：\(x = -6\) で \(y = 1\)（最小）、\(x = -2\) で \(y = 3\)（最大）

\[\boxed{1 \leq y \leq 3}\]

注意

\(a < 0\) かつ \(x < 0\) の範囲では、\(x\) が増える（\(-6\) → \(-2\)）と \(y\) も増える。変域の最大・最小は必ず端点の \(y\) の値を計算して確認すること。

例題６　比例と反比例を含む問題

比例のグラフ \(y = 2x\) と反比例のグラフ \(y = \dfrac{k}{x}\) が点 \((3, p)\) で交わっている。\(k\) と \(p\) の値を求めよ。

解答

点 \((3, p)\) が \(y = 2x\) 上にあるので：

\[p = 2 \times 3 = 6\]

点 \((3, 6)\) が \(y = \dfrac{k}{x}\) 上にあるので：

\[6 = \frac{k}{3} \implies k = 18\]
\[\boxed{p = 6,\quad k = 18}\]

自分でやってみる

解いたら「答えを確認」で確かめよう。

問題を読み込んでいます…

間違えやすいポイント

よくある間違い

  • 直線で結んでしまう（必ず曲線）
  • \(x > 0\) と \(x < 0\) の2本の曲線を1本につなげてしまう
  • 変域があるとき、曲線全体を書いてしまう（変域内の部分だけ）
  • \(a < 0\) のとき \(x\) が増えると \(y\) の大小が直感と逆になることを忘れる

まとめ

反比例グラフのまとめ

グラフの書き方（3ステップ）

  1. 表を作る（\(x\) の正・負それぞれで \(y\) を計算）
  2. 点を座標平面に打つ（\(x > 0\) と \(x < 0\) で分けて考える）
  3. 同じグループの点をなめらかな曲線で結ぶ

グラフの特徴

\(a > 0\) \(a < 0\)
象限 第１・第３ 第２・第４
\(x > 0\) で \(x\) 増加 → \(y\) 減少 \(x\) 増加 → \(y\) 増加
  • 原点を通らない
  • \(x\) 軸・\(y\) 軸には近づくが絶対に交わらない
  • \(\lvert a \rvert\) が大きいほど曲線は原点から遠く（広がる）

理解度チェック

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